Planimetria

X OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli punkt $P$ porusza się w płaszczyźnie trójkąta $ABC$ , to trójkąt $S_1S_2S_3$ , którego wierzchołkami są środki ciężkości $S_1$ , $S_2$ i $S_3$ trójkątów $PBC$ , $PCA$ i $PAB$ nic zmienia kształtu ani wielkości.

X OM - I - Zadanie 3

Na jednym ramieniu kąta obrano punkty $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , a na drugim punkty $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ w ten sposób, że prosta $A_1B_2$ jest równoległa do prostej $A_2B_1$ , a prosta $A_2B_3$ jest równoległa do prostej $A_3B_2$ . Dowieść, że proste $A_1B_3$ i $A_3B_1$ są równolegle.

XI OM - III - Zadanie 3

Na okręgu obrano 6 różnych punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ w ten sposób, że $AB$ jest równolegle do $DE$ , a $DC$ jest równolegle do $AF$ . Dowieść, że $BC$ jest równoległe do $EF$ .

XI OM - II - Zadanie 5

Dane są na prostej trzy różne punkty $A$ , $B$ , $C$ i punkt $S$ poza tą prostą; prostopadle poprowadzone w punktach $A$ , $B$ , $C$ do prostych $SA$ , $SB$ , $SC$ przecinają się w punktach $M$ , $N$ , $P$ . Dowieść, że punkty $M$ , $N$ , $P$ , $S$ leżą na okręgu.

XI OM - II - Zadanie 3

Dane są dwa okręgi o wspólnym środku $O$ i punkt $A$ . Zbudować okrąg o środku $A$ przecinający okręgi dane w takich punktach $M$ i $N$ , żeby prosta $MN$ przechodziła przez punkt $O$ .

XI OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że jeżeli czworokąt jest opisany na kole, to można na nim opisać koło wtedy i tylko wtedy gdy cięciwy łączące punkty styczności przeciwległych boków czworokąta z kołem są prostopadłe.

XI OM - I - Zadanie 8

Na płaszczyźnie dane są trzy półproste $OX$ , $OY$ , $OZ$ , dzielące płaszczyznę na trzy kąty wypukłe oraz punkty $A$ , $B$ , $C$ leżące odpowiednio wewnątrz kątów $YOZ$ , $ZOX$ , $XOY$ . Zbudować trójkąt, którego wierzchołki leżą na $OX$ , $OY$ , $OZ$ , a boki przechodzą przez $A$ , $B$ , $C$ .