Stereometria

XXVI - I - Zadanie 4

Dane są parami rozłączne kule $K_1, K_2, K_3$ o promieniach parami różnych. Niech $A_{ij}$ będzie wierzchołkiem, stożka opisanego na kulach $K_i$ i $K_j$ . Dowieść, że punkty $A_{12}$ , $A_{23}$ , $A_{31}$ są współliniowe.

XXVII OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że dla dowolnego czworościanu iloczyny długości jego przeciwległych krawędzi są długościami boków pewnego trójkąta.

XXVII OM - II - Zadanie 3

Rozważamy czaszę kulistą nie zawierającą żadnego kola wielkiego. Odległość punktów $A$ i $B$ na takiej czaszy określamy jako długość tego łuku koła wielkiego kuli o końcach w punktach $A$ i $B$ , który jest zawarty w czaszy. Wykazać, że nie istnieje izometria odwzorowująca tę czaszę na podzbiór płaszczyzny.
Uwaga. Czasza kulista jest to każda z dwóch części, na które dzieli powierzchnię kuli płaszczyzna przecinająca tę kulę.

XXVII OM - I - Zadanie 10

Punkty $A', B', C', D'$ płaszczyzny $Q$ są odpowiednio rzutami równoległymi punktów $A, B, C, D$ płaszczyzny $P$ , przy czym punkty $A, B, C, D, A', B', C', D'$ są różne i żadne trzy spośród nich nie leżą na prostej. Dowieść, że czworościany $ABCD'$ i $A'B'C'D$ mają równe objętości.

XXVII OM - I - Zadanie 8

Udowodnić, że na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości 1 istnieją takie punkty $P$ i $Q$ , że dowolny punkt powierzchni tego czworościanu można połączyć z jednym z punktów $P$ , $Q$ łamaną długości $\leq \frac{\sqrt{3}}{3}$ leżącą na powierzchni czworościanu.

XXVII OM - I - Zadanie 4

Samolot leci bez zatrzymywania się po najkrótszej drodze z Oslo do miasta $X$ leżącego na równiku w Ameryce Południowej. Z Oslo startuje dokładnie w kierunku zachodnim. Wiedząc, że współrzędne geograficzne Oslo są : $59^{\circ}55'$ szerokości północnej i $10^{\circ}43'$ długości wschodniej, obliczyć współrzędne geograficzne miasta $X$ . Jakie to miasto? Obliczyć długość drogi samolotu z dokładnością do 100 km. Zakładamy, że Ziemia jest idealną kulą o długości równika 40 000 km oraz, że samolot leci na wysokości nie większej niż 10 km.

XXVIII - III - Zadanie 1

Dany jest czworościan $ABCD$ , o którego kątach płaskich wiadomo, że

$<br /> \measuredangle BAD = 60^{\circ}, \quad \measuredangle BAC = 40^{\circ}, \quad \measuredangle ABD = 80 ^{\circ}, \quad \measuredangle ABC = 70^{\circ}<br />$

Dowieść, że krawędzie $AB$ i $CD$ są prostopadłe.

XXVIII - II - Zadanie 4

Dany jest taki ostrosłup o podstawie czworokątnej, że każda para okręgów wpisanych w sąsiednie ściany ma punkt wspólny. Dowieść, że punkty styczności tych okręgów z podstawą ostrosłupa leżą na jednym okręgu.

XXVIII - I - Zadanie 10

Udowodnić, że w każdym czworościanie istnieje wierzchołek, przy którym trzy kąty płaskie są ostre.

XXVIII - I - Zadanie 4

Wewnątrz czworościanu $ABCD$ obrano punkt $M$ , przy czym okazało się, że dla każdego z czworościanów $ABCM$ $ABDM$ , $ACDM$ , $BCDM$ istnieje sfera styczna do wszystkich jego krawędzi. Udowodnić, że istnieje sfera styczna do wszystkich krawędzi czworościanu $ABCD$ .