Wielomiany

LV OM - III - Zadanie 2

Niech $W$ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, przyjmującym dla pewnych dwóch różnych liczb całkowitych wartości względnie pierwsze. Dowieść, że istnieje nieskończony zbiór liczb całkowitych, dla których wielomian $W$ przyjmuje wartości parami względnie pierwsze.

LV OM - I - Zadanie 9

Dane są wielomiany $W_1(x),W_2(x), W_3(x),\ldots, W_n(x)$ stopnia co najmniej 1, o współczynnikach całkowitych. Wykazać, że dla pewnej liczby całkowitej $a$ wszystkie liczby

$ W_1(a), W_2(a), W_3(a),\ldots, W_n(a) $

są złożone.

LV OM - I - Zadanie 6

Niech $c$ będzie taką liczbą rzeczywistą, że wielomian

$ P(x) = x^5 - 5x^3 + 4x - c $

ma pięć różnych pierwiastków rzeczywistych $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , $x_4$ , $x_5$ . Wyznaczyć, w zależności od $c$ , sumę wartości bezwzględnych współczynników wielomianu

$ Q(x)=(x-x_{1}^{2})(x-x_{2}^{2})(x-x_{3}^{2})(x-x_{4}^{2})(x-x_{5}^{2}). $

LVI OM - II - Zadanie 4

Dany jest wielomian $W(x)=x^2+ax+b$ , o współczynnikach całkowitych, spełniający warunek:

Dla każdej liczby pierwszej $p$ istnieje taka liczba całkowita $k$ , że liczby $W(k)$ oraz $W(k + 1)$ są podzielne przez $p$ . Dowieść, że istnieje liczba całkowita $m$ , dla której

$ W (m)= W (m +1)=0. $

LVII OM - III - Zadanie 6

Wyznaczyć wszystkie pary liczb całkowitych $a$ , $b$ , dla których istnieje taki wielomian $P(x)$ o współczynnikach całkowitych, że iloczyn $(x^2 + ax + b)\cdot P(x)$ jest wielomianem postaci

$ x^n +c_{n-1}x + \dots + c_1x + c_0, $

gdzie każda z liczb $c_0,c_1,\dots ,c_{n-1}$ jest równa 1 lub -1.

LVII OM - I - Zadanie 9

Dane są nieujemne liczby całkowite $k_1 <k_2 <\dots <k_m$ . Niech

$ n =2^{k_1} +2^{k_2} +\dots+2^{k_m}. $

Wyznaczyć liczbę nieparzystych współczynników wielomianu

$ P(x)=(x+1)^n . $

XLVIII MOM - Zadanie 6

Niech $n$ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Rozpatrujemy

$ S=\{(x,y,z):x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\,x+y+z>0\} $

jako zbiór $(n+1)^3-1$ punktów w przestrzeni trójwymiarowej. Wyznaczyć najmniejszą możliwą liczbę płaszczyzn, których suma zawiera zbiór $S$ , ale nie zawiera punktu $(0,0,0)$ .

XVIII ZMPB - Zadanie 3

Niech $F$ , $G$ , $H$ będą takimi wielomianami stopnia co najwyżej $2n+1$ o współczynnikach rzeczywistych, że:

Dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ mamy

$ F(x)\le G(x)\le H(x). $
Istnieją takie różne liczby rzeczywiste $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ , $x_n$ , że

$ F(x_i)=H(x_i)\qquad\hbox{dla }i=1,2,\ldots,n. $
Istnieje liczba rzeczywista $x_0$ różna od $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ , $x_n$ , dla której

$ F(x_0)+H(x_0)=2G(x_0). $

Dowieść, że

$ F(x)+H(x)=2G(x) $

dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ .

LVIII OM - I - Zadanie 12

Wielomian $W$ o współczynnikach rzeczywistych przyjmuje w przedziale $\langle a;b\rangle$ (gdzie ${a<b}$ ) tylko wartości dodatnie. Udowodnić, że istnieją takie wielomiany $P$ oraz $Q_1,Q_2,\ldots,Q_m$ , że