Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

V OM - I - Zadanie 4

Wewnątrz danego trójkąta $ ABC $ znaleźć taki punkt $ O $, żeby pola trójkątów $ AOB $, $ BOC $, $ COA $ były w stosunku $ 1 \colon 2 \colon 3 $.

V OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli w czworokącie $ ABCD $ zachodzi równość $ AB + CD = AD + BC $, to okręgi wpisane w trójkąty $ ABC $ i $ ACD $ są styczne.

V OM - I - Zadanie 2

Zbadać, kiedy suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez $ 18 $.

V OM - I - Zadanie 1

Znaleźć takie liczby $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, żeby równość

\[<br /> (1) \qquad \frac{2x-7}{4x^2 + 16x + 15} = \frac{a}{x + c} + \frac{b}{x + d}<br /> \]

była tożsamością.

VI OM - III - Zadanie 6

Przez punkty $ A $ i $ B $ poprowadzono dwie proste skośne $ m $ i $ n $ prostopadłe do prostej $ AB $. Na prostej $ m $ obrano punkt $ C $ (różny od $ A $), a na prostej $ n $ punkt $ D $ (różny od $ B $). Mając dane długości odcinków $ AB = d $ i $ CD = l $ oraz kąt $ \varphi $, jaki tworzą proste skośne $ m $ i $ n $, obliczyć promień powierzchni kuli przechodzącej przez punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $.

VI OM - III - Zadanie 5

Na płaszczyźnie dana jest prosta $ m $ oraz punkty $ A $ i $ B $ leżące po przeciwnych stronach prostej $ m $. Znaleźć na prostej $ m $ taki punkt $ M $, żeby różnica odległości tego punktu od punktów $ A $ i $ B $ była jak największa.

VI OM - III - Zadanie 3

W okrąg wpisano trójkąt równoboczny $ ABC $; dowieść, że jeżeli $ M $ jest dowolnym punktem okręgu, to jedna z odległości $ MA $, $ MB $, $ MC $ jest równa sumie dwóch pozostałych.

Subskrybuje zawartość