1990-1999

XLIV OM - I - Zadanie 5

Dana jest półpłaszczyzna oraz punkty $ A $ i $ C $ na jej krawędzi. Dla każdego punktu $ B $ tej półpłaszczyzny rozważamy kwadraty $ ABKL $ i $ BCMN $ leżące na zewnątrz trójkąta $ ABC $. Wyznaczają one odpowiadającą punktowi $ B $ prostą $ LM $. Udowodnić, że wszystkie proste odpowiadające różnym położeniom punktu $ B $ przechodzą przez jeden punkt.

XLIV OM - I - Zadanie 3

Dany jest sześciokąt $ ABCDEF $ mający środek symetrii. Oznaczmy przez $ A' $ punkt przecięcia prostych $ AB $ i $ EF $, przez $ B' $ - punkt przecięcia prostych $ BC $ i $ AF $, a przez $ C' $ - punkt przecięcia prostych $ AB $ i $ CD $. Dowieść, że $ |AB| \cdot |BC| \cdot |CD| = |AA'| \cdot |BB'| \cdot |CC'| $.

Rozwiązanie

Dany sześciokąt ma środek symetrii. Jego przeciwległe boki są więc równoległe i równej długości; w szczególności zachodzą związki:

\[<br /> EF\parallel BC, \quad FA \parallel CD, \quad |FA| = |CD|.<br /> \]

Ponieważ punkty $ A' $ i $ B' $ leżą odpowiednio na prostych $ EF $ i $ BC $, a punkty $ B' $ i $ C' $ leżą odpowiednio na prostych $ FA $ i $ CD $, zatem możemy przepisać poprzednie związki równoległości jako

\[<br /> A'F\parallel BB',\quad AB'\parallel C'C.<br /> \]

Z pierwszego z nich wynika, że trójkąt $ A'AF $ jest podobny do trójkąta $ BAB' $, a z drugiego - że trójkąt $ BAB' $ jest podobny do trójkąta $ BC'C $ (rysunek 1). Uzyskujemy w ten sposób proporcje

\[<br /> \frac{|AA'|}{|AB|}=\frac{|AF|}{|AB'|} \quad \textrm{oraz} \quad \frac{|BB'|}{|BC|}=\frac{|AB'|}{|C'C|},<br /> \]

które - pomnożone stronami - dają związek

\[<br /> \frac{|AA'|}{|AB|}\cdot \frac{|BB'|}{|BC|} =\frac{|AF|}{|CC'|}.<br /> \]

Ponieważ zaś $ |AF| = |CD| $, zatem, ostatecznie,

\[<br /> \frac{|AA'|}{|AB|}\cdot \frac{|BB'|}{|BC|} \cdot \frac{|CC'|}{|CD|}=1.<br /> \]

Warto zauważyć, że rozumowanie jest niezależne od tego, czy sześciokąt $ ABCDEF $ jest wypukły, czy nie (rysunek 1).
om44_1r_img_1.jpg

XLIV OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać równanie

\[<br /> \frac{(x^2-1)(|x|+1)}{x+\mathrm{sgn}(x)} = [x+1]<br /> \]

Uwaga: $ [t] $ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $ t $,

\[<br /> \mathrm{sgn}(x) =<br /> \begin{cases}<br /> 1, & \text{ gdy } x > 0 \\<br /> 0, & \text{ gdy } x = 0 \\<br /> -1, & \text{ gdy } x < 0.<br /> \end{cases}<br /> \]

Rozwiązanie

Oznaczmy lewą i prawą stronę równania odpowiednio przez $ L(x) $ i $ P(x) $; z postaci równania wynika, że $ x\neq 0 $. Dla wszystkich liczb $ x \neq 0 $ mianownik ułamka definiującego wyrażenie $ L(x) $ jest różny od zera, a więc wyrażenie to jest dobrze określone i mamy równość

\[<br /> |x| + 1 = x \cdot \sgn x + (\sgn x)^2 = (x + \sgn x) \sgn x;<br /> \]

stąd zaś

\[<br /> L(x) = (x^2 - 1)\sgn x.<br /> \]

Wartość bezwzględna prawej strony danego równania spełnia oczywiste oszacowanie $ |P(x)| \leq |x| +1 $. Jeśli więc $ |x| > 2 $, to

\[<br /> |L(x)|-|P(x)| \geq (x^2-1) - (|x| +1) = (|x|-2)(|x| + 1) >0.<br /> \]

Zatem równanie nie ma rozwiązań w zbiorze $ (-\infty;-2)\cup(2;\infty ) $.

Dla $ x = 2 $ równanie jest spełnione. W pozostałym zbiorze $ \langle-2;0)\cup(0; 2) $ funkcje $ L(x) $ i $ P(x) $ są dane wzorami

\[<br /> L(x)=(x^2-1)\sgn x = \left\{\begin{array}{ll}<br /> 1-x^2& \textrm{dla } x \in \langle-2;0),\\<br /> x^2-1& \textrm{dla } x \in (0;2)\\<br /> \end{array}\right.<br /> \]

oraz

\[<br /> P(x)=[x + 1]= \left\{\begin{array}{rl}<br /> -1& \textrm{dla } x \in \langle-2;-1),\\<br /> 0& \textrm{dla } x \in \langle-1;0),\\<br /> 1& \textrm{dla } x \in (0;1),\\<br /> 2& \textrm{dla } x \in \langle1;2),\\<br /> \end{array}\right.<br /> \]

a ich różnica ma postać

\[<br /> L(x)-P(x)= \left\{\begin{array}{rl}<br /> 2-x^2& \textrm{dla } x \in \langle-2;-1),\\<br /> 1-x^2& \textrm{dla } x \in \langle-1;0),\\<br /> x^2-2& \textrm{dla } x \in (0;1),\\<br /> x^2-3& \textrm{dla } x \in \langle1;2),\\<br /> \end{array}\right.<br /> \]

Przyrównanie do zera uzyskanych wyrażeń kwadratowych daje (w odpowiednich przedziałach) pierwiastki: $ -\sqrt{2} $, $ -1 $, $ \sqrt{3} $. Uwzględniając znaleziony wcześniej pierwiastek $ x = 2 $ mamy pełne rozwiązanie:

\[<br /> \{x \in \mathbb{R}\setminus \{0\}: L(x) = P(x)\} = \{-\sqrt{2},-1,\sqrt{3},2\}.<br /> \]

XLV OM - III - Zadanie 6

Różne liczby rzeczywiste $ x_1, x_2, \ldots , x_n $ ($ n \geq 4 $) spełniają warunki

\[<br /> \sum_{i=1}^n x_i = 0,\qquad \sum_{i=1}^n x_i^2 = 1.<br /> \]

Dowieść, że spośród tych liczb można wybrać takie cztery różne liczby $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, aby zachodziły nierówności

\[<br /> a+b+c+nabc \leq \sum_{i=1}^n x_i^3 \leq a+b+d+nabd.<br /> \]

XLV OM - III - Zadanie 5

Punkty $ A_1, A_2, \ldots , A_8 $ są wierzchołkami równoległościanu o środku $ O $. Wykazać, że

\[<br /> r\cdot \sum_{i=1}^8 |OA_i|^2 \leq \left(\sum_{i=1}^8 |OA_i| \right)^2.<br /> \]

XLV OM - III - Zadanie 4

Dysponujemy trzema naczyniami bez podziałki: pustym $ m $-litrowym, pustym $ n $-litrowym oraz napełnionym wodą $ (m+n) $-litrowym. Liczby $ m $ i $ n $ są liczbami naturalnymi względnie pierwszymi. Udowodnić, że dla każdej liczby $ k \in \{1,2, \ldots , m+n-1\} $ można za pomocą przelewania wody otrzymać w trzecim naczyniu dokładnie $ k $ litrów wody.

XLV OM - III - Zadanie 3

Dana jest liczba całkowita $ c \geq 1 $. Każdemu podzbiorowi $ A $ zbioru $ \{1,2, \ldots ,n\} $ przyporządkowujemy liczbę $ w(A) $ ze zbioru $ \{1,2, \ldots ,c\} $ tak, by był spełniony następujący warunek:

\[<br /> w(A \cap B) = \min(w(A),w(B)) \quad \text{ dla } A, B \subset \{1,2, \ldots , n\}.<br /> \]

Niech $ a(n) $ będzie liczbą takich przyporządkowań. Obliczyć $ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{a(n)} $.

Uwaga: $ \min(x,y) $ jest nie większą z liczb $ x $, $ y $.

XLV OM - III - Zadanie 2

Na płaszczyźnie dane są dwie proste równoległe $ k $ i $ l $ oraz okrąg rozłączny z prostą $ k $. Z punktu $ A $ leżącego na prostej $ k $ prowadzimy dwie styczne do tego okręgu przecinające prostą $ l $ w punktach $ B $, $ C $. Niech $ m $ będzie prostą przechodzącą przez punkt $ A $ i środek odcinka $ BC $. Wykazać, że wszystkie uzyskane w ten sposób proste $ m $ (odpowiadające różnym wyborom punktu $ A $ na prostej $ k $) mają wspólny punkt.

Subskrybuje zawartość