Olimpiada Matematyczna

XXXIX OM - I - Zadanie 11

Dany jest ciąg określony wzorami $a_0 = 0$ , $a_1 = 1$ , $a_2 = 2$ , $a_3 = 6$ , $a_{n+4} = 2a_{n+3} + a_{n+2} - 2 a_{n+1} - a_n$ dla $n > 0$ . Udowodnić, że $a_n$ jest liczbą podzielną przez $n$ .

Czytaj dalej

XXXIX OM - I - Zadanie 10

Wiedząc, że $x \in \langle 0; \pi/4\rangle$ rozstrzygnąć, która z liczb jest większa:

$<br /> \tan \sin x \text{ czy } \sin \tan x.<br />$

Spośród wierzchołków $n$ -kąta foremnego ( $n \geq 4$ ) wybrano cztery różne. Wybór każdej czwórki wierzchołków jest jednakowo prawdopodobny. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wszystkie wybrane wierzchołki leżą na pewnym półokręgu (przyjmujemy, że do półokręgu należą jego końce).

XXXIX OM - I - Zadanie 8

Dla danego sześcianu o krawędzi długości 1 znaleźć zbiór odcinków o sumie długości nie większej niż $1 +3\sqrt{3}$ mający tę własność, że każde dwa wierzchołki sześcianu są końcami pewnej łamanej złożonej z odcinków tego zbioru.

XXXIX OM - I - Zadanie 7

Dane jest takie przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, że obrazem każdego okręgu jest okrąg. Udowodnić, że obrazem każdej prostej jest prosta.

XXXIX OM - I - Zadanie 6

Spośród liczb $1, 2, \ldots, 3n$ ( $n > 2$ ) wybieramy w sposób losowy cztery różne. Wybór każdej czwórki jest jednakowo prawdopodobny. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że suma wybranych liczb dzieli się przez 3.

XXXIX OM - I - Zadanie 5

Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych $n$ , dla których $[n\sqrt{2}]$ jest potęgą liczby 2.
Uwaga: $[x]$ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $x$ .

XXXIX OM - I - Zadanie 4

W elipsę wpisano trójkąt o maksymalnym obwodzie. Udowodnić, że w każdym wierzchołku kąty między styczną do elipsy a bokami wychodzącymi z tego wierzchołka są równe.

XXXIX OM - I - Zadanie 3

Dla danego punktu $P$ leżącego wewnątrz trójkąta $ABC$ rozważamy
punkty $A'$ i $A''$ leżące na półprostej $AP^{\rightarrow}$ tak, że $A' \in BC$ , $|AA''| = 2|AA'|$ ;
punkty $B'$ i $B''$ leżące na półprostej $BP^{\rightarrow}$ tak, że $B' \in CA$ , $|BB''| = 2|BB'|$ ;
punkty $C'$ i $C''$ leżące na półprostej $CP^{\rightarrow}$ tak, że $C \in AB$ , $|CC''| = 2|CC'|$ .
Wyrazić pole trójkąta $A''B''C''$ za pomocą pól trójkątów $ABC$ i $A'B'C'$ .