Olimpiada Matematyczna

XL OM - I - Zadanie 5

Dla danej liczby naturalnej $n$ wyznaczyć liczbę ciągów $(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ , których wyrazy $a_i$ należą do zbioru $\{0,1,2,3,4\}$ oraz spełniają warunek $|a_i - a_{i+i}| = 1$ dla $i = 1,2,\ldots,n-1$ .

XL OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że nie można tak pociąć kwadratu wzdłuż skończonej liczby odcinków i łuków okręgów, by z otrzymanych części można było złożyć koło (części można odwracać).

XL OM - I - Zadanie 3

Trójkąty $ABC$ i $ABC'$ mają równo obwody, a dwusieczne kątów zewnętrznych przy wierzchołkach $C$ i $C'$ przecinają się w punkcie $O$ . Dowieść, że kąty $AOC$ i $BOC'$ są równe.

XL OM - I - Zadanie 2

Dla ustalonej liczby naturalnej $n$ znaleźć liczbę rozwiązań równania

$ x^2 - [x^2] = (x - [x])^2 $

spełniających warunek $1 \leq x \leq n$ .
Uwaga. $[t]$ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $t$ .

XL OM - I - Zadanie 1

Udowodnić, że jeśli liczby $k$ , $n$ ( $k < n$ ) są względnie pierwsze, to liczba $\binom{n-1}{k-1}$ jest podzielna przez $k$ .

Czytaj dalej

XLI OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $n$ większej od 2 liczba

$ \sum_{k=0}^{[n/3]} \binom{n}{3k} $

jest podzielna przez 3.

XLI OM - III - Zadanie 5

Dany jest taki ciąg liczb naturalnych $(a_n)$ , że $\lim_{n\to \infty} \frac{n}{a_n} = 0$ .

Udowodnić, że istnieje taka liczba $k$ , dla której między liczbami $a_1 + a_2 + \ldots + a_k$ oraz $a_1 + a_2 + \ldots + a_k + a_{k+1}$ znajduje się co najmniej 1990 kwadratów liczb naturalnych.

XLI OM - III - Zadanie 4

Wewnątrz kwadratu o boku długości 1 narysowano trójkąt, którego każdy bok ma długość nie mniejszą od 1. Dowieść, że środek kwadratu należy do trójkąta.

XLI OM - III - Zadanie 3

W pewnym turnieju uczestniczyło $n$ zawodników. Każdy z nich rozegrał jedną partię z każdym innym zawodnikiem, nie było remisów. Dowieść, że albo można podzielić uczestników turnieju na takie dwie grupy $A$ i $B$ , że każdy zawodnik z grupy $A$ wygrał z każdym z grupy $B$ , albo można ustawić uczestników w ciąg $u_1, u_2, \ldots , u_n$ tak, że $u_1$ wygrał z $u_2$ , $u_2$ wygrał z $u_3$ , ..., $u_{n-1}$ wygrał z $u_n$ , $u_n$ wygrał z $u_1$ .