Olimpiada Matematyczna

XLI OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ , $y$ spełniona jest równość

$ (x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y) = 4xy(x^2-y^2) $

Dla dowolnego wielokąta wypukłego $W$ o polu 1 oznaczmy przez $f(W)$ pole wielokąta wypukłego, którego wierzchołkami są środki wszystkich boków wielokąta $W$ . Dla każdej liczby naturalnej $n \geq 3$ wyznaczyć kres dolny i kres górny zbioru liczb $f(W)$ gdy $W$ przebiega zbiór wszystkich $n$ -kątów wypukłych o polu 1.

XLI OM - II - Zadanie 5

Danych jest $n$ liczb naturalnych ( $n\geq 2$ ), których suma równa jest ich iloczynowi. Wykazać, że ta wspólna wartość nie przekracza $2n$ .

XLI OM - II - Zadanie 4

Dla każdej pary liczb naturalnych parzystych $k$ , $m$ wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $x$ spełniające równanie

$ (\sin x)^k + (\cos x)^{-m} = (\cos x)^k + (\sin x)^{-m}. $

XLI OM - II - Zadanie 3

W turnieju szachowym każdy zawodnik rozegrał z każdym co najwyżej jedną partię, przy czym liczba partii rozegranych przez każdego z zawodników jest nie mniejsza od ustalonej liczby naturalnej $n$ . Udowodnić, że można podzielić zawodników na dwie grupy $A$ i $B$ w taki sposób, by liczba partii rozegranych przez każdego gracza grupy $A$ z graczami grupy $B$ była nie mniejsza niż $n/2$ i jednocześnie liczba partii rozegranych przez każdego gracza grupy $B$ z graczami grupy $A$ była nie mniejsza niż $n/2$ .

XLI OM - II - Zadanie 2

W przestrzeni dany jest punkt $O$ oraz skończony zbiór wektorów $\overrightarrow{v_1},\ldots,\overrightarrow{v_n}$ . Rozważamy zbiór tych punktów $P$ , dla których wektor $\overrightarrow{OP}$ daje się przedstawić w postaci sumy $a_1 \overrightarrow{v_1} + \ldots + a_n\overrightarrow{v_n}$ o współczynnikach spełniających nierówności $0 \leq a_i \leq 1$ ( $i = 1, 2, \ldots, n$ ). Rozstrzygnąć, czy zbiór ten może być czworościanem.

XLI OM - II - Zadanie 1

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych $x$ , $y$ spełniające równanie

$ (xy-l)^2 = (x + l)^2 + (y + l)^2. $

XLI OM - I - Zadanie 12

Pięciokąt wypukły ma pole $S$ . Niech $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ , $S_5$ będą polami pięciu trójkątów odciętych przez przekątne pięciokąta (wierzchołkami każdego z tych trójkątów są trzy kolejne wierzchołki pięciokąta). Udowodnić, że suma pewnych czterech liczb $S_j$ przekracza $S$ .

XLI OM - I - Zadanie 11

W urnie znajduje się n kartek ponumerowanych liczbami od 1 do $n$ . Wyciągamy z urny bez zwracania kolejno $k$ kartek; $n$ i $k$ są ustalonymi liczbami naturalnymi, $1 \leq k \leq n$ . Niech $x_i$ będzie numerem $i$ -tej wyciągniętej kartki. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w ciągu $(0,x_1,\ldots, x_k, 0)$ jest dokładnie jedno maksimum lokalne.