Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XLI OM - I - Zadanie 9

Rozstrzygnąć, czy istnieje taki wielomian $ W(x) $ o współczynnikach wymiernych, że dla każdego całkowitego $ k $ wartość $ W(3k+1) $ jest liczbą całkowitą nieparzystą, a $ W(3k+2) $ — liczbą całkowitą parzystą.

XLI OM - I - Zadanie 8

Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych $ n $, dla których każda z liczb $ n-1 $, $ n $, $ n+1 $ jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

XLI OM - I - Zadanie 7

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi nierówność

\[<br /> \binom{2n}{n}\cdot \sqrt{3n} < 4^n<br /> \]

XLI OM - I - Zadanie 6

Niech $ M $ będzie dowolnym punktem czworościanu $ ABCD $. Oznaczmy pola ścian $ BCD $, $ ACD $, $ ABD $, $ ABC $ odpowiednio przez $ S_A $, $ S_B $, $ S_C $, $ S_D $ objętość zaś czworościanu przez $ V $. Udowodnić, że

\[<br /> S_A\cdot |MA| + S_B\cdot |MB| + S_C\cdot |MC| + S_D\cdot|MD| \geq 9V.<br /> \]

XLI OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że krawędzi sześcianu nie da się ponumerować liczbami od 1 do 12 tak, by suma numerów krawędzi wychodzących z każdego wierzchołka była taka sama.

Czy można spełnić ten warunek numerując krawędzie dwunastoma różnymi liczbami ze zbioru $ \{1,2,\ldots,13\} $?

XLI OM - I - Zadanie 4

Z szachownicy o wymiarach $ 8 \times 80 $ polach pokolorowanych w zwykły sposób usunięto dwa poła różnych kolorów. Udowodnić, że pozostałe $ 62 $ pola można pokryć 31 prostokątami o wymiarach $ 2\times 1 $.

XLI OM - I - Zadanie 3

Na zewnątrz trójkąta ostrokątnego $ ABC $ zbudowano trójkąty równoboczne $ ABC' $, $ BCA' $, $ CAB' $. Dowieść, że odcinki $ AA' $, $ BB' $, $ CC' $ przecinają się w jednym punkcie i są równej długości.

XLI OM - I - Zadanie 2

Udowodnić, że jeżeli liczby $ A $, $ B $ są różne od zera, to funkcja

\[<br /> f(x) = A\sin x+B \sin(\sqrt{2}\cdot x)<br /> \]

nie jest okresowa.

XLI OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć w zależności od stałych rzeczywistych $ a $, $ b $ liczbę rzeczywistych pierwiastków równania

\[<br /> \sqrt{(x-a)\cdot|x-b|} = (a-b)^2.<br /> \]

XLII OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że dla każdej trójki liczb rzeczywistych $ x,y,z $ takich, że $ x^2+y^2+z^2 = 2 $ spełniona jest nierówność $ x+y+z\leq 2+xyz $ oraz ustalić, kiedy zachodzi równość.

Subskrybuje zawartość