Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XLII OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $ x $ spełniające nierówność

\[<br /> 2\left| x - |x + |x-1|| \right| > \left x + |x - |x+1|| \right|.<br /> \]

XLII OM - I - Zadanie 1

Na brzegu jeziora w kształcie koła znajdują się cztery przystanie $ K $, $ L $, $ P $, $ Q $. Z przystani $ K $ wypływa kajak kierując się do przystani $ Q $, a z przystani $ L $ wypływa łódka kierując się do przystani $ P $. Wiadomo, że gdyby zachowując swe prędkości kajak popłynął w kierunku przystani $ P $, a łódka w kierunku przystani $ Q $, to doszłoby do zderzenia. Dowieść, że kajak i łódka dobiją do celu w tym samym czasie.

XLIII OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $ k $ liczba $ (k!)^{k^2+k+1} $ jest dzielnikiem liczby $ (k^3)! $.

XLIII OM - III - Zadanie 5

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest $ 2n $-kąt foremny $ A_1, A_2, \ldots, A_n $. Sfera przechodząca przez wierzchołek $ S $, ostrosłupa pezecina krawędzie boczne $ SA_i $ w punktach $ B_i $ ($ i = 1,2,\ldots, 2n $). Udowodnić, że

\[<br /> \sum_{i=1}^n |SB_{2i-1}| = \sum_{i=1}^n |SB_{2i}|.<br /> \]

XLIII OM - III - Zadanie 4

Ciąg funkcji $ f_0, f_1, f_2, \ldots $ określony w następujący sposób:

\[<br /> f_0(x) = 8 \quad \text{ dla wszystkich } x\in \mathbb{R},<br /> \]
\[<br /> f_{n+1}(x) = \sqrt{x^2+6f_n(x)} \text{ dla } n = 0,1,2,\ldots \text{ oraz wszystkich } x\in \mathbb{R}.<br /> \]

Dla każdej liczby naturalnej rozwiązać równanie

\[<br /> f_n(x) = 2x.<br /> \]

XLIII OM - III - Zadanie 3

Udowodnić że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ a_1, a_2, \ldots , a_r $ zachodzi nierówność

\[<br /> \sum_{n=1}^r\left(\sum_{m=1}^r \frac{a_ma_n}{m+n}\right) \geq 0.<br /> \]

Rozstrzygnąć, dla jakich liczb $ a_1, a_2, \ldots , a_r $ nierówność ta staje się równością.

XLIII OM - III - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f $ określone na zbiorze liczb wymiernych dodatnich, o wartościach w tym samym zbiorze, spełniające dla wszystkich dodatnich liczb wymiernych warunki

\[<br /> f(x+1) = f(x)+1 \quad \text{ oraz }\quad f(x^3) = (f(x))^3.<br /> \]

XLIII OM - III - Zadanie 1

Odcinki $ AC $ i $ BD $ przecinają się w punkcie $ P $, przy czym $ |PA|=|PD| $, $ |PB|=|PC| $. Niech $ O $ będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ PAB $. Dowieść, że proste $ OP $ i $ CD $ są prostopadłe.

XLIII OM - II - Zadanie 6

Ciągi $ (x_n) $ i $ (y_n) $ są określone następująco:

\[<br /> x_{n+1} = \frac{x_n+2}{x_n+1},\quad y_{n+1}=\frac{y_n^2+2}{2y_n} \quad \text{ dla } n=0,1,2,\ldots.<br /> \]

Dowieść, że dla każdej liczby całkowitej $ n\geq 0 $ zachodzi równość $ y_n = x_{2^n-1} $.

Subskrybuje zawartość