Olimpiada Matematyczna

XLIII OM - II - Zadanie 5

Wyznaczyć kres górny obiętości kul zawartych w czworościanach o wszystkich wysokościach nie dłuższych niż $1$ .

Okręgi $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ są styczne zewnętrznie: $k_1$ do $k_2$ w punkcie $A$ , $k_2$ do $k_3$ w punkcie $B$ , $k_3$ do $k_4$ w punkcie $C$ , $k_4$ do $k_1$ w punkcie $D$ . Proste $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $S$ . Przez punkt $S$ poprowadzono prostą $p$ styczną do $k_4$ w punkcie $F$ . Wykazać, że $|SE|=|SF|$ .

XLIII OM - II - Zadanie 3

Przez środek ciężkości trójkąta ostrokątnego $ABC$ poprowadzono proste prostopadłe do boków $BC$ , $CA$ , $AB$ , przecinające je odpowiednio w punktach $P$ , $Q$ , $R$ . Wykazać że jeżeli $|BP|\cdot |CQ| \cdot |AR| = |PC| \cdot |QA| \cdot |RB|$ , to trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

Uwaga: Zgodnie z twierdzeniem Cevy, dana w założeniu równość, iloczynów jest równoważna temu, że proste $AP$ , $BQ$ , $CR$ mają punkt wspólny.

XLIII OM - II - Zadanie 2

Dana jest liczba naturalna $n \geq 2$ . Niech $a_1, a_2, \ldots , a_n$ , $b_1, b_2, \ldots , b_n$ będą liczbami rzeczywistymi. Dowieść, że następujące warunki są równoważne:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n$

zachodzi nierówność

$ \sum_{i=1}^n a_i x_i \leq \sum_{i=1}^n b_i x_i. $

Dla każdej liczby naturalnej $k\in \{1,2,\ldots, n-1\}$ zachodzi nierówność

$ \sum_{i=1}^k a_i \geq \sum_{i=1}^k b_i, \quad \text{ a ponadto} \quad \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n b_i. $

XLIII OM - II - Zadanie 1

Każdy wierzchołek pewnego wielokąta ma obie współrzędne całkowite; długość każdego boku tego wielokąta jest liczbą naturalną. Udowodnić, że obwód wielokąta jest liczbą parzystą.

XLIII OM - I - Zadanie 12

Na płaszczyźnie narysowane cztery proste tak, że żadne dwie z nich nie są równoległe i żadne trzy nie mają punktu wspóinego. Proste te wyznaczają cztery trójkąty. Udowodnić, że ortocentra tych trójkątów leżą na jednej prostej.

Uwaga: Ortocentrum trójkąta to punkt przecięcia jego wysokości.

XLIII OM - I - Zadanie 11

Dana jest liczba naturalna $n\geq 1$ . Rozważamy tabelę zbudowaną z $n(n+1)/2$ okienek, ustawionych w $n$ rzędach: jedno okienko w pierwszym rzędzie, dwa w drugim itd., $n$ okienek w $n$ -tym rzędzie. W okienka tabeli wpisujemy w sposób losowy liczby od $1$ do $n(n + l )/2$ . Niech $m_k$ będzie największą z liczb w $k$ -tym rzędzie. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że $m_1 < m_2 < \ldots < m_n$ .

XLIII OM - I - Zadanie 10

Danych jest $n$ liczb $a_1\leq a_2 \leq \ldots \leq a_n$ . Przyjmujemy

$ M_1 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i,\; M_2 = \frac{2}{n(n-1)} \sum_{1\leq i < j\leq n} a_ia_j, \; Q = \sqrt{M_1^2 - M_2}. $

Udowodnić, że

$ a_1 \leq M_1 - Q \leq M + Q \leq a_n $

XLIII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że wśród dowolnych $n+2$ liczb całkowitych istnieją takie dwie, których suma lub różnica dzieli się przez $2n$ .

XLIII OM - I - Zadanie 8

W czworościanie $ABCD$ sumy długości przeciwległych krawędzi wynoszą $1$ . Okręgi wpisane w ściany $BCD$ , $CDA$ , $DAB$ i $ABC$ mają promienie $r_A$ , $r_B$ , $r_C$ , $r_D$ . Udowodnić, że