Komentarz

XXVII OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że

\[<br /> \sum_{i=0}^{24} \binom{100}{4i+1} = 2^{98}.<br /> \]

Rozwiązanie

Udowodnimy, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi wzór

\[<br /> (1) \qquad \sum_{i=0}^{n-1} \binom{4n}{4i+1} = 2^{4n-2}<br /> \]

Przy $ n = 25 $ wynika zeń wzór podany w zadaniu. Na mocy wzoru dwumianowego mamy

\[<br /> 2^{4n-1} = (1+i)^{4n-1} = \sum_{j=0}^{4n-1} \binom{4n-1}{j}.<br /> \]

Grupując kolejno składniki otrzymanej sumy parami i wykorzystując wzór

\[<br /> \binom{m+1}{k} = \binom{m}{k} + \binom{m}{k-1}, \ \textrm{gdzie} \ 1 \leq k \leq m,<br /> \]

stwierdzamy, że

\[<br /> 2^{4n-1} = \sum_{i=0}^{2n-1} \left[ \binom{4n-1}{2i} + \binom{4n-1}{2i+1} \right] = \sum_{i=0}^{2n-1} \binom{4n}{2i+1}.<br /> \]

Tę ostatnią sumę zapisujemy w postaci sumy dwóch sum. Składniki pierwszej odpowiadają parzystym wartościom $ i $, $ i = 2k $, gdzie $ 0 \leq k \leq<br /> n - 1 $; składniki drugiej - nieparzystym wartościom $ i $, $ i = 2k + 1 $, gdzie $ 0 \leq k \leq n - 1 $. Mamy więc

\[<br /> (2) \qquad 2^{4n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{4n}{4n+1} + \sum_{k=0}^{n-1} \binom{4n}{4n+3}.<br /> \]

Ponieważ $ \displaystyle \binom{m}{r} = \binom{m}{m-r} $ dla $ 0 \leq r \leq m $, więc $ \displaystyle \binom{4n}{4n+3} = \binom{4n}{4(n-k-1)+1} $. Przy tym dla $ 0 \leq k \leq n-1 $ mamy $ 0 \leq n-1-k \leq n-1 $. Wobec tego ostatnia suma po prawej stronie wzoru (2) jest równa

\[<br /> \sum_{k=0}^{n-1} \binom{4n}{4(n-1-k)+1} = \sum_{s=0}^{n-1} \binom{4n}{4s+1}.<br /> \]

Zatem z (2) otrzymujemy

\[<br /> 2^{4n-1} = 2\sum_{k=0}^{n-1} \binom{4n}{4k+1}<br /> \]

i stąd - wzór (1).

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz