Komentarz

XXVI - I - Zadanie 6

Niech $ T_n $ będzie ciągiem liczb całkowitych zdefiniowanym następująco :

\[<br /> T_n=n-1 \quad \text{ dla }n = 1, 2, 3, 4,<br /> \]
\[<br /> (1)\qquad T_{2k-1}= T_{2k-2} + 2^{k-2},<br /> \]
\[<br /> (2)\qquad T_{2k} = T_{2k-5} + 2^k, \text{ dla } k\geq 3<br /> \]

Dowieść, że

\[<br /> T_{2k-1}=\left[ \frac{12}{7} \cdot 2^{k-1}\right] \text{ dla } A = 1,2,\ldots<br /> \]

i znaleźć wzór dla $ T_{2k} $.

Rozwiązanie

Wypisując pięć początkowych wyrazów ciągu $ T_n $ sprawdzamy bezpośrednio, że wzór (3) zachodzi dla $ k = 1, 2, 3 $. Załóżmy z kolei, że zachodzi on dla każdej liczby naturalnej $ k $ nie większej od $ n $, gdzie $ n $ jest pewną liczbą naturalną $ \geq 3 $. Udowodnimy wzór (3) dla liczby $ n+1 $.

Z (1) i (2) wynika, że

\[<br /> T_{2n+1} = T_{2n} + 2^{n-1} = T_{2n-5} + 2^n + 2^{n-1}.<br /> \]

Z założenia indukcyjnego mamy

\[<br /> T_{2n-5} = \left[ \frac{12}{7} \cdot 2^{n-3} \right] -1.<br /> \]

Zatem

\[<br /> \begin{split}<br /> T_{2n+1} &= \left[ \frac{12}{7} \cdot 2^{n-3} \right] + 2^n + 2^{n-1} - 1 =<br /> \left[ \frac{12}{7} \cdot 2^{n-3} + 2^n + 2^{n-1} \right] -1=\\<br /> & = \left[ \frac{12}{7} \cdot 2^{n-3} \left( 1 + \frac{7}{12} \cdot 8 + \frac{7}{12} \cdot 4 \right) \right] -1 = \left[ \frac{12}{7} \cdot 2^{n} \right] -1.<br /> \end{split}<br /> \]

Na mocy zasady indukcji wzór (3) zachodzi więc dla każdej liczby naturalnej $ k $.

Z (2) i (3) wynika, że

\[<br /> T_{2k} = T_{2k-5} + 2^k = \left[ \frac{12}{7} \cdot 2^{n-3} \right] + 2^k -1<br /> \]

dla $ k \geq 3 $. Sprawdzamy bezpośrednio, że również dla $ k = 1 $ i $ k = 2 $ zachodzi $ \displaystyle T_{2k} = \left[ \frac{12}{7} \cdot 2^{n-3} \right] -1 $.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz