Komentarz

XXV OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że dla każdego $ n = 2, 3, \ldots $ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $ t_1, t_2, \ldots, t_n $, $ s_1, s_2, \ldots, s_n $, jeżeli

\[<br /> \sum_{i=1}^n t_i = 0, \text{ to } \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n t_it_j |s_i-s_j| \leq 0.<br /> \]

Rozwiązanie

Dokonując tej samej permutacji ciągów $ t_1, t_2, \ldots,t_n $ i $ s_1, s_2, \ldots, s_n $ nie zmieniamy warunków zadania. Możemy więc założyć, że ciąg $ s_1, s_2, \ldots, s_n $ jest niemalejący.

Niech $ a_k = s_{k+1} - s_k $ dla $ k = 1, 2, \ldots, n-1 $. Wtedy dla $ i <j $ mamy $ s_j - s_i = (s_j - s_{j-1}) + (s_{j-1} - s_{j-2}) + \ldots + (s_{i+ 1} - s_i) $.

Wobec tego

\[<br /> (1) \qquad |s_j - s_i | = \sum_{i \leq k < j} a_k \ \textrm{dla} \ i<j.<br /> \]

W sumie

\[<br /> (2) \qquad \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n t_i t_j |s_i - s_j |<br /> \]

składnik odpowiadający parze wskaźników $ (i,j) $ jest równy składnikowi odpowiadającemu parze $ (j, i) $. Ponadto, jeżeli $ i = j $, to składnik odpowiadający parze $ (i,j) $ jest równy zeru. Wobec tego suma (2) jest równa

\[<br /> (3) \qquad 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} t_it_j |s_i - s_j |.<br /> \]

Na mocy (1) sumę tę możemy zapisać w postaci

\[<br /> 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} t_it_j \sum_{i \leq k < j} a_k,<br /> \]

czyli

\[<br /> (4) \qquad 2 \sum_{1 \leq i \leq k < j \leq n} t_it_j a_k.<br /> \]

Suma składników w (4) odpowiadających ustalonym wartościom $ i $ i $ k $ jest równa

\[<br /> (5) \qquad \sum_{j=k+1}^n t_it_j a_k =<br /> t_i a_k \sum_{j=k+1}^n t_j = -t_i a_k \sum_{j=1}^k t_j,<br /> \]

ponieważ $ \displaystyle \sum_{j=1}^k t_j + \sum_{j=k+1}^n t_j = \sum_{j=1}^n t_j =0 $ z założenia.

Wobec tego na mocy (5) suma (4) jest równa

\[<br /> \begin{split}<br /> 2 \sum_{1 \leq i \leq k < n} \sum_{j=k+1}^n t_i t_j a_k &=<br /> - 2 \sum_{1 \leq i \leq k < n} t_i a_k \sum_{j=1}^k t_j =- 2 \sum_{k=1}^{n-1} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k a_k t_i t_j =\\<br /> &=<br /> - 2 \sum_{k=1}^{n-1} a_k \sum_{i=1}^k t_i \sum_{j=1}^k t_j =- 2 \sum_{k=1}^{n-1} a_k \left( \sum_{i=1}^k t_i \right)^2.<br /> \end{split}<br /> \]

Ta ostatnia liczba jest niedodatnia, ponieważ każda z liczb $ a_k $ jest nieujemna.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz