Komentarz

XVIII ZMPB - Zadanie 4

Niech $ a_1 $, $ a_2 $, $ \ldots $, $ a_n $ będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi, i niech $ S=a_1+a_2+\ldots+a_n $. Udowodnić, że

\[<br /> \begin{split}<br /> (2S+n)(2S&+a_1a_2+a_2a_3+\ldots+a_na_1)\ge \\<br /> &\ge 9\Bigl(\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_2a_3}+\ldots+\sqrt{a_na_1}\Bigr)^2.<br /> \end{split}<br /> \]

Rozwiązanie

Zauważmy przede wszystkim, że

\[<br /> \begin{split}<br /> 2S-2(\sqrt{a_1a_2}&+\sqrt{a_2a_3}+\ldots+\sqrt{a_na_1})= \\<br /> &=(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2})^2+(\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3})^2+\ldots+<br /> (\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1})^2\ge 0,<br /> \end{split}<br /> \]

skąd uzyskujemy nierówność

\[<br /> (1) \qquad<br /> 2S\ge 2(\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_2a_3}+\ldots+\sqrt{a_na_1}).<br /> \]

Podnosząc tę nierówność stronami do kwadratu uzyskujemy

\[<br /> (2) \qquad<br /> 4S^2\ge 4\Bigl(\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_2a_3}+\ldots+\sqrt{a_na_1}\Bigr)^2.<br /> \]

Korzystając z kolei z nierówności $ x+y\ge 2\sqrt{xy} $ otrzymujemy

\[<br /> 1+a_1a_2\ge 2\sqrt{a_1a_2}, \quad 1+a_2a_3\ge 2\sqrt{a_2a_3}, \quad\ldots,\quad 1+a_na_1\ge 2\sqrt{a_na_1},<br /> \]

co prowadzi do związku

\[<br /> n+a_1a_2+a_2a_3+\ldots+a_na_1\ge 2(\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_2a_3}+\ldots+\sqrt{a_na_1}),<br /> \]

który w połączeniu z zależnością (1) pozwala napisać

\[<br /> (3) \qquad 2S(n+a_1a_2+a_2a_3+\ldots+a_na_1)\ge 4\Bigl(\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_2a_3}+\ldots+\sqrt{a_na_1}\Bigr)^2.<br /> \]

Wreszcie na mocy nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i kwadratową dostajemy

\[<br /> {a_1a_2+a_2a_3+\ldots+a_na_1\over n}\ge<br /> \Bigl({\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_2a_3}+\ldots+\sqrt{a_na_1}\over n}\Bigr)^2,<br /> \]

i wobec tego

\[<br /> (4) \qquad n(a_1a_2+a_2a_3+\ldots+a_na_1)\ge<br /> \Bigl(\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_2a_3}+\ldots+\sqrt{a_na_1}\Bigr)^2.<br /> \]

Dodając stronami nierówności (2), (3), (4) uzyskujemy tezę.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz