Komentarz

XIX OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby $ a, b, c $, są długościami boków trójkąta, a suma liczb $ x, y, z $ jest równa zeru, to

\[<br /> (1) \qquad a^2yz + b^2zx + c^2xy \leq 0.<br /> \]

Rozwiązanie

Niech $ U $ oznacza lewą stronę nierówności (1). Ponieważ $ x + y + z = 0 $, więc $ z = - (x + y) $, zatem

\[<br /> U = -a^2y (x + y) - b^2x (x + y) + c^2xy,<br /> \]

czyli

\[<br /> (2) \qquad U = (c^2 - a^2 - b^2) xy - a^2b^2 - b^2x^2.<br /> \]

Liczby $ a $, $ b $, $ c $, spełniają nierówność

\[<br /> |a - b| < c < a + b.<br /> \]

Stąd

\[<br /> (a- b)^2 < c^2 < (a+b)^2,<br /> \]

więc

\[<br /> (3) \qquad - 2ab < c^2 -a^2-b^2 < 2ab.<br /> \]

Jeżeli $ xy > 0 $, to z (3) wynika, że

\[<br /> (c^2 - a^2 - b^2)xy < 2abxy,<br /> \]

wobec czego z (2) otrzymujemy

\[<br /> U < 2abxy - a^2y^2 - b^2x^2 = - (ay - bx)^2 \leq 0.<br /> \]

Jeżeli $ xy < 0 $, to na mocy (3)

\[<br /> - 2abxy > (c^2 - a^2 - b^2)xy.<br /> \]

Zatem z (2) wynika, że

\[<br /> U < -2abxy - a^2y^2 - b^2x^2 = - (ay + bx)^2 \leq 0.<br /> \]

Jeżeli wreszcie $ xy = 0 $, to z (2) otrzymujemy

\[<br /> U = - a^2y^2 - b^2x^2 \leq 0.<br /> \]

We wszystkich przypadkach $ U \leq 0 $, c.n.d.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz