Komentarz

XVII OM - I - Zadanie 5

Dane są liczby dodatnie $ p $ i $ q $. Dowieść, że prostopadłościan, w którym suma krawędzi równa się $ 4p $, a pole powierzchni równa się $ 2q $, istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $ p^2 \geq 3q $.

Rozwiązanie

a) Przypuśćmy, że żądany prostopadłościan istnieje. Istnieją zatem liczby $ x $, $ y $, $ z $ spełniające równania

\[<br /> (1) \qquad x+y+z = p,<br /> \]
\[<br /> (2) \qquad xy+yz+zx=q.<br /> \]

W takim razie liczby $ p $ i $ q $ spełniają nierówność $ p^2 \geq 3q $, gdyż z (1) i (2) wynika, że

\[<br /> \begin{split}<br /> p^2-3q &= (x+y+z)^2-3(xy + yz + zx) =\\<br /> &= x^2+y^2+z^2- xy-yz-zx=\\<br /> &=\frac{1}{2} [(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 ] \geq 0.<br /> \end{split}<br /> \]

b) Przypuśćmy, że dane liczby dodatnie $ p $ i $ q $ spełniają nierówność $ p^2 \geq 3q. $

Wykażemy, że istnieją wówczas liczby dodatnie $ x $, $ y $, $ z $ spełniające równania (1) i (2). Jeżeli $ \sigma $ oznacza liczbę dodatnią mniejszą od $ \frac{p}{3} $, to liczby określone wzorami

\[<br /> (3) \qquad x= \frac{p}{3} -\sigma, y=\frac{p}{3}-\sigma, z=\frac{p}{3} + 2\sigma<br /> \]

są dodatnie i spełniają równanie (1). Z równości (3) wynika, że

\[<br /> xy + yz + zx= \frac{p^2}{3} - 3\sigma^2.<br /> \]

Biorąc $ \sigma = \frac{1}{3} \sqrt{p^2-3q} $ stwierdzamy, że $ 0 < \sigma < \frac{p}{3} $ i że

\[<br /> xy + yz + zx=q.<br /> \]

Wyznaczone w powyższy sposób liczby $ x $, $ y $, $ z $ spełniają zatem także równanie (2), więc prostopadłościan o krawędziach $ x $, $ y $, $ z $ ma żądane własności.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz