Komentarz

Na płaszczyźnie dany jest czworokąt i punkt . Zbudować równoległobok o środku i o wierzchołkach leżących na prostych , , , .

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że równoległobok czyni zadość warunkowi zadania, przy czym jest tym wierzchołkiem, który leży na prostej . Symetryczny doń względem punktu wierzchołek leży na jednej z prostych , , . Rozważymy najpierw przypadek, gdy leży na prostej . Możemy wówczas przyjąć, że wierzchołek leży na prostej , a wierzchołek na prostej ; gdyby bowiem było odwrotnie, zmienilibyśmy po prostu oznaczenie na , a na .

Niech , , , oznaczają punkty symetryczne odpowiednio do , , , względem punktu . Ponieważ punkty , , , są symetryczne odpowiednio do punktów , , , , więc leżą one na prostych , , , . Jeżeli zatem równoległobok jest rozwiązaniem zadania, to

Konstrukcja takich punktów jest zawsze wykonalna; istotnie, proste i przecinają się, gdyż prosta jest równoległa do prostej przecinającej prostą w punkcie i tak samo przecinają się proste każdej z pozostałych par.

Należy jeszcze zbadać, czy wyznaczone w ten sposób punkty , , , są rzeczywiście wierzchołkami równoległoboku. Z konstrukcji wynika, że i i tak samo i są punktami symetrycznymi względem punktu . Jeżeli proste i są różne, to , , , , tworzą równoległobok (rys. 18).

Jednakże proste i mogą się pokrywać, wówczas nie otrzymujemy równoległoboku, lecz figurę, która jest przypadkiem granicznym równoległoboku i którą możemy nazwać równoległobokiem zniekształconym.

Tworzą ją dwie pary punktów i o wspólnym środku, położone na tej samej prostej. Taki przypadek zachodzi na przykład, gdy czworokąt jest symetryczny względem prostej , a punkt leży na tej prostej (rys. 19).

Może się zdarzyć, że pary i są identyczne, np. że pokrywa się z a z ; przypadek ten zachodzi wtedy, gdy jest środkiem odcinka łączącego punkt przecięcia prostych i z punktem przecięcia prostych i (rys. 20). Mogą się też pokrywać punkty jednej z par i , np. punkt z punktem ; ma to miejsce wtedy, gdy punkt znajduje się w wierzchołku czworokąta (rys. 21).

Równoległobok zniekształcony będziemy też uważali za rozwiązanie zadania. Możemy wówczas powiedzieć, że zadanie ma zawsze jedno takie rozwiązanie , w którym leży na prostej . Analogicznie znajdujemy drugie rozwiązanie, w którym leży na prostej . Oba te rozwiązania mogą się pokrywać; zachodzi to wtedy, gdy punkt jest środkiem odcinka łączącego punkt przecięcia prostych i z punktem przecięcia prostych i . Uzasadnienie tego wniosku pozostawiamy jako ćwiczenie.

Pozostaje do rozstrzygnięcia sprawa tych rozwiązań , w których leży na , na , na a na . Rozumując jak poprzednio, stwierdzamy że jeżeli takie rozwiązanie istnieje, to

Jeżeli czworokąt nie ma boków równoległych, to punkty takie istnieją, np. prosta przecina , gdyż jest równoległa do ; zadanie ma zawsze jedno rozwiązanie rozważanego typu, które może być równoległobokiem zniekształconym.

Rozwiązanie to pokrywa się ze znalezionym poprzednio rozwiązaniem pierwszego typu, gdy jest środkiem odcinka , a z rozwiązaniem drugiego typu, gdy jest środkiem odcinka ; proponujemy, aby czytelnik to sam uzasadnił.

Jeżeli jest równoległe do , a nie jest równoległe do , to łatwo stwierdzić, że:

a) zadanie nie ma rozwiązania omawianego typu, gdy punkt nie jest równoodległy od prostych i ,

b) zadanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy punkt jest równoodległy od i ; punkt można wówczas obrać dowolnie na prostej .

Jeżeli wreszcie jest równoległobokiem, to zadanie ma tylko wtedy rozwiązanie trzeciego typu, gdy punkt jest środkiem tego równoległoboku. Punkty i można wówczas obrać dowolnie na prostych i .