Komentarz

XIII OM - I - Zadanie 11

Dany jest czworokąt $ ABCD $, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym w punkcie $ M $. Udowodnić, że $ 8 $ punktów, w których prostopadle poprowadzone z punktu $ M $ do prostych $ AB $, $ BC $, $ CD $ i $ DA $ przecinają boki czworokąta, leży na okręgu.

Rozwiązanie

Niech $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ oznaczają spodki prostopadłych opuszczonych z punktu $ M $ odpowiednio na boki $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $ (rys. 16).

Udowodnimy najpierw, że punkty $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ leżą na okręgu, wykazując, że suma dwóch przeciwległych kątów czworokąta $ PQRS $ równa się $ 180^\circ $.

Każdy z czworokątów $ MPAS $, $ MQBP $, $ MRCQ $ i $ MSDR $ ma dwa kąty proste, więc wierzchołki każdego z nich leżą na okręgu. Według twierdzenia o kątach wpisanych

\[<br /> \measuredangle MPS = \measuredangle MAS \textrm{ i } \measuredangle<br /> MRS = \measuredangle MDS.<br /> \]

Zatem

\[<br /> (1) \qquad \measuredangle MPS + \measuredangle MRS = \measuredangle MAS + \measuredangle MDS = 90^\circ,<br /> \]

gdyż $ AM \bot DM $.

Podobnie

\[<br /> \measuredangle MPQ = \measuredangle MBQ,\quad<br /> \measuredangle MRQ = \measuredangle MCQ,<br /> \]

więc

\[<br /> (2) \qquad \measuredangle MPQ+ \measuredangle MRQ=<br /> \measuredangle MBQ + \measuredangle MCQ = 90^\circ.<br /> \]

Dodając równości (1) i (2) i uwzględniając, że $ \measuredangle MPS + \measuredangle MPQ = \measuredangle SPQ $, a $ \measuredangle MRS + \measuredangle MRQ = \measuredangle SRQ $, otrzymujemy:

\[<br /> \measuredangle SPQ + \measuredangle SRQ = 180^\circ<br /> \]

Punkty $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ leżą więc istotnie na okręgu. Należy jeszcze dowieść, że na tym samym okręgu leżą również punkty $ P_1 $, $ Q_1 $, $ R_1 $, $ S_1 $, w których proste $ MP $, $ MQ $, $ MR $ i $ MS $ przecinają odpowiednio boki $ CD $, $ DA $, $ AB $ i $ BC $. Wystarczy to udowodnić dla jednego z tych punktów, np. $ Q $, gdyż dla każdego z pozostałych rozumowanie jest takie samo (rys. 17).

Otóż

\[<br /> \measuredangle PSQ_1 = \measuredangle PSA = \measuredangle PMA = 90^\circ - \measuredangle PMB = 90^\circ - \measuredangle PQB = \measuredangle PQQ_1.<br /> \]

Z równości kątów $ PSQ_1 $ i $ PQQ_1 $ wynika, że punkty $ P $, $ Q $, $ S $, $ Q_1 $ leżą, na okręgu c.n.d.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz