Komentarz

XI OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać równanie

\[<br /> (1) \qquad \sqrt[n]{(x + 1)^2} + \sqrt[n]{(x - 1)^2} = 4 \sqrt[n]{x^2 - 1}.<br /> \]

Rozwiązanie

Wprowadzimy oznaczenia

\[<br /> \sqrt[n]{x + 1} = u, \ \sqrt[n]{x-1} = v.<br /> \]

Wówczas $ x + 1 = u^n $, $ x - 1 = v^n $, skąd $ u^n - v^n = 2 $; równanie (1) przybiera postać $ u^2 + v^2 = 4uv $. Weźmy pod uwagę układ równań

\[<br /> \nr{\textrm{I}}<br /> \begin{array}{c}<br /> u^2 + v^2 = 4uv,\\<br /> u^n - v^n = 2.<br /> \end{array}<br /> \]

Jeżeli $ x $ jest liczbą spełniającą równanie (1), a przy tym $ x> 1 $ to $ u $ i $ v $ są liczbami dodatnimi spełniającymi układ równań (I). Odwrotnie, jeżeli liczby dodatnie $ u $ i $ v $ spełniają układ równań (I), to liczba $ x = u^n - 1 = v^n + 1 $ jest większa od $ 1 $ i spełnia równanie (1). Dodatnie rozwiązania układu równań (I) łatwo znajdziemy obliczając z pierwszego z tych równań stosunek $ \frac{u}{v} $:

\[<br /> \left( \frac{u}{v} \right)^2 - 4\left( \frac{u}{v} \right) + 1 = 0.<br /> \]

Biorąc pod uwagę, że gdy $ u > 0 $, $ v > 0 $, to według drugiego równania układu (I) musi być $ u > v $, otrzymujemy

\[<br /> \frac{u}{v} = 2 + \sqrt{3}.<br /> \]

Podstawienie do drugiego równania układu (I) daje $ v^n = \frac{2}{(2 + \sqrt{3})^n - 1} $ zatem

\[<br /> x = \frac{2}{(2 + \sqrt{3})^n - 1} + 1 =<br /> \frac{(2 + \sqrt{3})^n + 1}{(2 + \sqrt{3})^n - 1}<br /> \]

jest jedynym większym od $ 1 $ pierwiastkiem równania (1).

Aby znaleźć pozostałe pierwiastki równania (1), wystarczy zauważyć, że z uwagi na prawą stronę tego równania musi być $ x^2 \geq 1 $ i że jeśli $ x $ jest pierwiastkiem równania, to ma ono również pierwiastek $ - x $. Wobec tego równanie (1) ma jeszcze tylko jeden pierwiastek

\[<br /> x =<br /> - \frac{(2 + \sqrt{3})^n + 1}{(2 + \sqrt{3})^n - 1}<br /> \frac{(2 - \sqrt{3})^n + 1}{(2 - \sqrt{3})^n - 1}.<br /> \]
  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz