Komentarz

Można się łatwo obejść bez rozważania podzieloności przez 2

a_n daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3, jeśli więc jest on trzecią potęgą liczby całkowitej to nietrudno spostrzec że jest on postaci (3k+1)^3 (otrzymujemy to po rozpisaniu reszt lub jako prosty wniosek z MTF). To jednak implikuje równość (3k)^3+3(3k)^2+3(3k) = 3(n^2+n)+6 gdzie lewa strona jest podzielna przez 9 a prawa nie,
bo n^2+n+2 nie jest podzielna przez 3.
Otrzymana sprzeczność kończy dowód.