Komentarz

IX OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli

\[<br /> (1) \qquad (a + b + c)^2 = 3 (ab + bc + ac - x^2 - y^2 - z^2),<br /> \]

gdzie $ a $, $ b $, $ c $, $ x $, $ y $, $ z $ oznaczają liczby rzeczywiste, to $ a = b = c $ oraz $ x = y = z = 0 $.

Rozwiązanie

Przekształcając równość (1), otrzymujemy kolejno

\[<br /> a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 = 3ab + 3bc + 3ac - 3 (x^2 + y^2 + z^2),<br /> \]
\[<br /> a^2 - ab + b^2 - ac - bc + c^2 = - 3 (x^2 + y^2 + z^2),<br /> \]
\[<br /> \frac{1}{2} (a^2 - 2ab + b^2 + a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bc + c^2) = 3(x^2 + y^2 + z^2),<br /> \]
\[<br /> (2) \qquad \frac{1}{2} [(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b- c)^2] = - 3 (x^2 + y^2 + z^2).<br /> \]

Ponieważ lewa strona równości (2) jest liczbą nieujemną, a prawa - liczbą niedodatnią, więc obie są równe zeru, skąd

\[<br /> a = b = c \textrm{ i } x = y = z = 0.<br /> \]
  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz