Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

Komentarz

VII OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad \begin{array}{c} (x^3+y^3)(x^2+y^2)=2a^5\\ x+y=a \end{array} $

Rozwiązanie

Ponieważ $x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 - xy + y^2)$ , więc uwzględniając drugie równanie układu (1) możemy pierwsze równanie tego układu zastąpić równaniem

$ (\alpha) \qquad a (z2 - xy + y2) y2) = 2a*. $

1) Gdy $a = 0$ , równanie ( $\alpha$ ) jest spełnione tożsamościowo; dany układ równań (1) redukuje się do drugiego równania; rozwiązaniem układu jest każda para $(t, - t)$ , gdzie $t$ jest dowolną liczbą.

2) Gdy $a \neq 0$ , równanie ( $\alpha$ ) można podzielić obustronnie przez $a$ i zastąpić układ równań (1) układem równoważnym

$ (2) \qquad \begin{array}{c} (x^2 -xy +y^2)(x^2+y^2)=2a^4\\ x+y=a \end{array} $

Wobec tego, ze równania układu (2) są jednorodne względem $x$ , $y$ i $a$ , możemy układ ten uprościć wprowadzając zamiast $x$ i $y$ , jako nowe niewiadome, stosunki $u = \frac{x}{a}$ , $v = \frac{x}{a}$ Otrzymujemy układ równań

$ (2) \qquad \begin{array}{c} (x^2 -xy +y^2)(x^2+y^2)=2\\ x+y=1 \end{array} $

Układ (3) można rozwiązać różnymi sposobami.

Niech $u - v = z$ ; ponieważ $u + v = 1$ , więc $u = \frac{1+z}{2}$ $v = \frac{1-z}{2}$ . Podstawiając te wartości do pierwszego równania układu (3) otrzymujemy równanie

$ \left[\left(\frac{1+z}{2}\right)^2 - \frac{(1-z)(1+z)}{4} +\left(\frac{1+z}{2}\right)^2 \right]\left[\left(\frac{1+z}{2}\right)^2 +\left(\frac{1+z}{2}\right)^2 \right]=2 $

które po wykonaniu działań przybiera postać

$ 3z^2+ 4z^2 - 15 = 0. $

Pierwiastkami tego równania dwukwadratowego są liczby

$ i \sqrt{3}, \quad -i \sqrt{3}, \quad \sqrt{\frac{5}{3}}, -\sqrt{\frac{5}{3}}. $

Podstawiając te wartości z do związków $u = \frac{1+z}{2}$ $v = \frac{1-z}{2}$ otrzymujemy $4$ rozwiązania układu (3).

Wersja do wydruku

Olimpiady Matematyczne

Komentarz

VII OM - I - Zadanie 1

Rozwiązanie

Dodaj komentarz

Klasyfikacja tematyczna

Rok

Zawody