Komentarz

VII OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że środki odcinków łączących środek okręgu wpisanego w trójkąt ze środkami okręgów dopisanych leżą na okręgu opisanym na tym trójkącie.

Rozwiązanie

Niech $ O $ oznacza środek okręgu wpisanego w trójkąt $ ABC $ (rys. 2), $ O_1 $ - środek okręgu dopisanego stycznego do boku $ AB $, a $ S $ - środek odcinka $ OO_1 $.

Punkty $ O $, $ O_1 $ i $ S $ leżą na dwusiecznej kąta $ C $.

Aby dowieść, że punkt $ S $ leży na okręgu przechodzącym przez punkty $ A $, $ B $, $ C $, wystarczy wykazać, że $ \measuredangle ASC = \measuredangle ABC $. W tym celu weźmy pod uwagę trójkąt $ OAO_1 $. Półprosta $ AO $ jest dwusieczną kąta $ A $ trójkąta $ ABC $, a półprosta $ AO_1 $ - dwusieczną kąta przyległego, zatem $ AO_1 \bot AO $ i punkt $ S $ jako środek przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego $ OAO_1 $ jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, wobec czego $ SA = SO $ i $ \measuredangle SAO = \measuredangle SOA $. Obliczamy

\[<br /> \begin{split}<br /> \measuredangle ASC &= 180^\circ - (\measuredangle SAO + \measuredangle SOA) = 180^\circ - 2 \cdot \measuredangle SOA =\\<br /> &= 180^\circ - 2 (\measuredangle OAC + \measuredangle OCA) = 180^\circ - \measuredangle BAC - \measuredangle BCA = \measuredangle ABC, \textrm{ c. n. d.}<br /> \end{split}<br /> \]
  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz