Komentarz

VII OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że liczby $ A $, $ B $, $ C $ określone wzorami

\[<br /> A = \tg \beta \tg \gamma + 5,\<br /> B = \tg \gamma \tg \alpha + 5,\<br /> C = \tg \alpha \tg \beta + 5,<br /> \]

gdzie $ \alpha>0 $, $ \beta > 0 $, $ \gamma > 0 $ i $ \alpha + \beta + \gamma = 90^\circ $, spełniają nierówność

\[<br /> (1) \qquad \sqrt{A} + \sqrt{B} + \sqrt{C} < 4 \sqrt{3}.<br /> \]

Rozwiązanie

Gdy $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ są kątami ostrymi dającymi w sumie kąt prosty, to $ \tg \beta \cdot \tg \gamma + \tg \gamma \cdot \tg \alpha + \tg \alpha \cdot \tg \beta = 1 $ (patrz zadanie 10), zatem

\[<br /> (2) \qquad A + B + C = 16.<br /> \]

Zadanie sprowadza się do wykazania, że liczby nieujemne $ A $, $ B $, $ C $ czyniące zadość warunkowi (2) spełniają nierówność (1). Aby to udowodnić, oprzemy się na tożsamości

\[<br /> (\sqrt{A} + \sqrt{B} + \sqrt{C})^2 + (\sqrt{A} - \sqrt{B})^2 + (\sqrt{B} - \sqrt{C})^2 + (\sqrt{C} - \sqrt{A})^2 = 3 (A + B + C).<br /> \]

Ponieważ składniki lewej strony tej tożsamości są nieujemne, więc

\[<br /> (\sqrt{A} + \sqrt{B} + \sqrt{C})^2 \leq 3 (A + B + C);<br /> \]

stąd

\[<br /> \sqrt{A} + \sqrt{B} + \sqrt{C} \leq \sqrt{3 (A + B + C)},<br /> \]

a ponieważ zachodzi równość (2), więc

\[<br /> \sqrt{A} + \sqrt{B} + \sqrt{C} \leq 4 \sqrt{3}.<br /> \]
  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz