Komentarz

VI OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

\[<br /> (1) \qquad<br /> \begin{array}{c}<br /> x + y + z + u = 8\\<br /> x^2 + y^2 + z^2 + u^2 = 20\\<br /> xy + xu + zy + zu = 16\\<br /> xyzu = 9<br /> \end{array}<br /> \]

Rozwiązanie

Ponieważ

\[<br /> (x + y + z + u)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + u^2 + 2 (xy + xu + zy + zu) + 2 (xz + yu),<br /> \]
\[<br /> xy + xu + zy + zu = (x + z) (y + u),<br /> \]

przeto wprowadzając oznaczenia

\[<br /> x + z = m,\ xz = n,\ y + u = p,\ yu = q<br /> \]

możemy układ równań (1) zastąpić układem

\[<br /> \begin{array}{cc}<br /> m + p = 8, & n + q = 6\\<br /> mp = 16, & nq = 9<br /> \end{array}<br /> \]

równoważnym układowi

\[<br /> m = p =4,\ n = q = 3<br /> \]

czyli układowi

\[<br /> (2) \qquad<br /> \begin{array}{cc}<br /> x + z= 4, & y + u = 4\\<br /> xz = 3, & yu = 3<br /> \end{array}<br /> \]

Układ równań (2), a więc i układ (1) ma $ 4 $ rozwiązania:

\[ x_1= 3, y_1 = 3, z_1 = 1, u_1 = 1; \]
\[ x_2= 3, y_2 = 1, z_2 = 1, u_2 = 3; \]
\[ x_3= 1, y_3 = 3, z_3 = 3, u_3 = 1; \]
\[ x_4= 1, y_4 = 1, z_4 = 3, u_4 = 3; \]
  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz