Komentarz

IV OM - I - Zadanie 7

Dowieść, że gdy $ n $ jest liczbą całkowitą wiekszą od $ 2 $, to

\[<br /> 2^{\frac{1}{2}n(n-1)} > n!.<br /> \]

Rozwiązanie

Można bezpośrednio zastosować indukcję zupełną do dowodu nierówności

\[<br /> (1) \qquad 2^{\frac{1}{2}n(n-1)} > n!<br /> \]

dla dowolnych liczb całkowitych $ n > 2 $.

1° Gdy $ n = 3 $, nierówność (1) jest prawdziwa, gdyż wówczas

\[<br /> 2^{\frac{1}{2}n(n-1)} = 2^3 = 8, \textrm{ a } n! = 6.<br /> \]

2° Jeżeli nierówność (1) jest prawdziwa dla jakiegoś $ k \geq 3 $, tj. jeżeli

\[<br /> 2^{\frac{1}{2}k(k-1)} > k!,<br /> \]

to

\[<br /> 2^{\frac{1}{2}(k+1)k} =<br /> 2^{\frac{1}{2}k(k-1)+k} =<br /> 2^{\frac{1}{2}k(k-1)} \cdot 2^k ><br /> k! \cdot 2^k > k! (k+1) = (k+1)!,<br /> \]

a więc

\[<br /> 2^{\frac{1}{2}(k+1)k} > (k+1)!.<br /> \]

Z 1° i 2° wynika prawdziwość nierówności (1) dla każdego całkowitego $ n \geq 3 $.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz