Komentarz

III OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby $ a $, $ b $, $ c $ spełniają równanie

\[<br /> (1) \qquad<br /> \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} +\frac{1}{ca} = \frac{1}{ab + bc + ca},<br /> \]

to dwie spośród nich są liczbami przeciwnymi.

Rozwiązanie

Równość (1) piszemy w postaci

\[<br /> \frac{a + b + c}{abc} = \frac{1}{ab + bc + ca}.<br /> \]

Stąd wynika równość

\[<br /> (2) \qquad (a + b + c) (ab + bc - ca) - abc = 0,<br /> \]

która po wykonaniu mnożenia i po redukcji daje

\[<br /> a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2 + 2abc = 0.<br /> \]

Lewą stronę porządkujemy według potęg $ a $:

\[<br /> (b + c) a^2 + (b^2 + 2bc + c^2) a + (b^2c + bc^2) = 0.<br /> \]

Wyłączamy $ b + c $ przed nawias:

\[<br /> (b + c) [a^2 + a (b + c) + bc] = 0<br /> \]

i ostatecznie otrzymujemy

\[<br /> (3) \qquad (b + c)(a + b)(a + c)=0.<br /> \]

Z tej równości wynika, że któraś z sum $ a + b $, $ b + c $, $ c + a $ jest równa zeru, tzn. że któreś dwie z liczb $ a $, $ b $, $ c $ są liczbami przeciwnymi.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz