Komentarz

III OM - III - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

\[<br /> (1) \qquad<br /> \left\{<br /> \begin{array}{l}<br /> xy (x - y) = ab (a - b)\\<br /> x^3 - y^3 = a^3 - b^3.<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> \]

Rozwiązanie

Pomnóżmy obie strony pierwszego równania przez $ 3 $, a następnie dodajmy równania stronami; otrzymamy równanie

\[<br /> (x - y)^3 = (a - b)^3,<br /> \]

równoważne (w dziedzinie liczb rzeczywistych) równaniu

\[<br /> x - y = a - b.<br /> \]

Układ równań (1) jest równoważny układowi równań

\[<br /> (2) \qquad<br /> \left\{<br /> \begin{array}{l}<br /> xy(x - y) = ab (a - b) \\<br /> x - y = a - b<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> \]

lub układowi prostszemu

\[<br /> (3) \qquad<br /> \left\{<br /> \begin{array}{l}<br /> xy (a - b) = ab (a - b) \\<br /> x - y = a - b.<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> \]

Należy rozróżnić dwa przypadki:

I. $ a - b \ne 0 $. Układ równań (3) jest równoważny układowi

\[<br /> (4) \qquad<br /> \left\{<br /> \begin{array}{l}<br /> xy = ab\\<br /> x - y = a - b<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> \]

mającemu dwa rozwiązania: $ x = a $, $ y = b $ i $ x = - b $, $ y = -a $.

II. $ a - b = 0 $. Pierwsze z równań (3) jest tożsamością $ 0 = 0 $ i układ równań (3) redukuje się do jednego równania

\[<br /> x - y = 0,<br /> \]

majajpego rozwiązanie $ x = m $, $ y = m $, gdzie $ m $ jest dowolną liczbą.

Uwaga. W dziedzinie liczb zespolonych równanie $ (x - y)^3 = (a - b)^3 $ jest równoważne alternatywie trzech równań: $ x - y = a - b $, lub $ x - y = (a - b)\varepsilon $ lub $ x - y = (a - b) \varepsilon^2 $, gdzie

\[<br /> \varepsilon = \frac{- 1 + i\sqrt{3}}{2},<br /> \]

wobec czego układ równań (1) jest równoważny alternatywie trzech układów równań, z których jednym jest układ (2), a dwa inne powstają z układu (2) przez zastąpienie drugiego równania równaniem $ x - y = (a - b)\varepsilon $ lub równaniem $ x - y = (a - b)\varepsilon^2 $. Rozwiązanie każdego z tych układów przebiega analogicznie do rozwiązania układu (2). Wynik jest następujący:

I. Gdy $ a - b \ne 0 $, dany układ ma w dziedzinie liczb zespolonych $ 6 $ rozwiązań $ (x, y) $, mianowicie:

\[<br /> (a, b),\ (a\varepsilon, b\varepsilon),\ (a\varepsilon^2, b\varepsilon^2),<br /> \]
\[<br /> (-b, -a),\ (-b\varepsilon, -a\varepsilon),\ (-b\varepsilon^2, -a\varepsilon^2).<br /> \]

II. Gdy $ a = b $, rozwiązaniem danego układu równań jest każda para liczb $ x = m $, $ y = m $, gdzie $ m $ jest dowolną liczbą zespoloną.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz