Komentarz

III MEMO - Zadanie 12

Rozwiązać równanie

\[<br /> (1) \qquad 2^x+2009=3^y5^z<br /> \]

w liczbach całkowitych nieujemnych $ x $, $ y $, $ z $.

Rozwiązanie

Zauważmy, że $ x\geq2 $ i $ y+z\geq1 $. Porównując obie strony równania (1) kolejno modulo 4, 3 i 5, otrzymujemy: $ 1\equiv(-1)^y\pmod4 $, więc $ y $ jest liczbą parzystą; jeżeli $ y>0 $, to $ (-1)^x+2\equiv0\pmod3 $ i $ x $ jest liczbą parzystą; jeśli $ z>0 $, to $ 2^x-1\equiv0\pmod5 $ i $ x $ jest liczbą parzystą. Zatem liczba $ x $ jest parzysta, bo na pewno $ y>0 $ lub $ z>0 $.

Niech $ x=2x' $ i $ y=2y' $. Przypuśćmy, że $ z $ jest nieparzyste. Wtedy

\[<br /> 3^y5^z\equiv9^{y'}5^z\equiv2^{y_1}(-2)^z\equiv r_1\pmod7\quad\text{dla }r_1\in\{3,5,6\}<br /> \]

oraz

\[<br /> 2^x+2009\equiv4^{x'}\equiv r_2\pmod7\quad\text{dla }r_2\in\{1,2,4\}.<br /> \]

Nie jest możliwe by $ r_1=r_2 $, więc, rozważając równanie (1) modulo 7, dochodzimy do sprzeczności. Z tego wynika, że $ z $ musi być liczbą parzystą.

Niech $ z=2z' $. Równanie (1) możemy teraz zapisać w postaci

\[<br /> 2009=(3^{y'}5^{z'}-2^{x'})(3^{y'}5^{z'}+2^{x'})=ab,<br /> \]

gdzie $ a=3^{y'}5^{z'}-2^{x'} $, $ b=3^{y'}5^{z'}+2^{x'} $. Po rozłożeniu 2009 na czynniki pierwsze $ 2009=41\cdot7^2 $, więc $ (a,b) $ jest jedną par: $ (1,2009) $, $ (7,287) $, $ (41,49) $. Widzimy ponadto, że $ b-a=2^{x'+1} $, a różnica wyrazów w wymienionych parach jest potęgą 2 jedynie w przypadku $ (41,49) $, zatem $ a=41 $ i $ b=49 $.

Stąd, rozwiązując układ dwóch równań, otrzymujemy $ 2^{x'}=4 $ i $ 3^{y'}5^{z'}=45=3^2\cdot5 $. Prowadzi to do $ x'=2 $, $ y'=2 $, $ z'=1 $, czyli jedynym rozwiązaniem zadania jest $ x=4 $, $ y=4 $, $ z=2 $.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz