Komentarz

LVI OM - II - Zadanie 6

Liczby $ a $, $ b $, $ c $ należą do przedziału $ \langle 0;1\rangle $. Udowodnić, że

\[<br /> \frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\leq 2.<br /> \]

Rozwiązanie

Wykażemy, że dla dowolnych liczb $ a $, $ b $, $ c $ należących do przedziału $ \langle 0; 1\rangle $ zachodzi nierówność

\[<br /> (1) \qquad \frac{a}{bc+1}\leq\frac{2a}{a+b+c}.<br /> \]

Istotnie: jeśli $ a = 0 $, to powyższa nierówność jest spełniona. Dla $ a>0 $ zależność (1) jest równoważna nierówności $ a + b + c \leq 2bc + 2 $, którą można zapisać jako

\[<br /> a \leq 1 + bc + (b- 1)(c-1).<br /> \]

Ostatnia nierówność jest spełniona - wynika ona bezpośrednio z zależności $ a \leq 1 $, $ 0 \leq bc $, $ 0 \leq (b - 1)(c - 1) $. To kończy dowód własności (1).

Analogicznie dowodzimy, że

\[<br /> (2) \qquad \frac{b}{ca+1}\leq\frac{2b}{a+b+c}\ \textrm{oraz}\ \frac{c}{ab+1}\leq\frac{2c}{a+b+c}.<br /> \]

Dodając stronami nierówności (1) oraz (2) uzyskujemy tezę.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz