Komentarz

LI OM - I - Zadanie 3

Suma liczb dodatnich $ a $, $ b $, $ c $ równa jest $ 1 $. Udowodnić, że

\[<br /> a^2 + b^2 + c^2 + 2\sqrt{3abc} \leq 1 .<br /> \]

Rozwiązanie

Wystarczy dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich $ a $, $ b $, $ c $ zachodzi nierówność

\[<br /> a^2 + b^2 + c^2 + 2\sqrt{3abc(a + b + c)} \leq (a + b + c)^2.<br /> \]

Przekształcając równoważnie powyższą zależność otrzymujemy

\[<br /> \sqrt{3abc(a+b+c)} \leq ab + bc + ca.<br /> \]

Wykonując podstawienie $ x = bc $, $ y = ca $, $ z = ab $, sprowadzamy dowodzoną nierówność do postaci

\[<br /> \sqrt{3(xy+yz + zx)} = x+y + z.<br /> \]

Podnosząc do kwadratu obie strony ostatniej nierówności i przekształcając równoważnie otrzymujemy

\[<br /> xy+yz + xz=x^2 + y^2 + z^2 \ \textrm{lub}\ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2\geq 0,<br /> \]

co jest prawdą.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz