Komentarz

XLIX OM - II - Zadanie 1

Niech $ A_n = \{1, 2,\ldots, n\} $. Rozstrzygnąć, czy dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 2 $ istnieją funkcje $ f: A_n \to A_n $, $ g: A_n \to A_n $, spełniające warunki:

\[<br /> f (f (k))= g(g(k)) = k\ \textrm{dla}\ k = 1, 2,\ldots,n;<br /> \]
\[<br /> g(f (k)) = k + 1\ \textrm{dla}\ k = 1, 2,\ldots,n-1.<br /> \]

Rozwiązanie

Dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 2 $ istnieją funkcje o wymaganych własnościach. Oto przykład:

\[<br /> f(k)=\left\{\begin{array}{lll}<br /> n-k&\textrm{dla}&k<n,\\<br /> n&\textrm{dla}&k=n,<br /> \end{array}\right.<br /> \quad g(k)=n+1-k.<br /> \]
  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz