Komentarz

XLIV OM - I - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ takie, że

\[<br /> f(x+y)-f(x-y)=f(x)\cdot f(y) \quad \text{ dla } x,y \in \mathbb{R}.<br /> \]

Rozwiązanie

Załóżmy, że funkcja $ f $ spełnia dane równanie funkcyjne. Podstawiając $ x = y = 0 $ dostajemy równość $ f(0) = 0 $. Podstawiając następnie w równaniu $ x = 0 $ (i wiedząc, że $ f(0) = 0 $) dostajemy zależność

\[<br /> f(y)-f(-y) = 0 \quad \textrm{dla wszystkich } y \in \mathbb{R}.<br /> \]

To znaczy, że $ f $ jest funkcją parzystą.

Weźmy dowolną liczbę $ y \in \mathbb{R} $ i podstawmy w danym równaniu kolejno $ x = y $ oraz $ x = - y $. Otrzymujemy związki

\[<br /> f(2y) = f(y)^2 \quad \textrm{oraz} \quad - f(-2y) = f(-y)f(y).<br /> \]

Wobec parzystości funkcji $ f $, prawe strony tych związków są liczbami równymi (bo $ f(-y) = f(y) $), a lewe ich strony są liczbami przeciwnymi (bo $ f(-2y) = f(2y) $). Wszystkie te liczby muszą więc być zerami. Z dowolności wyboru liczby $ y $ wynika, że $ f $ jest funkcją równą tożsamościowo zeru.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz