Komentarz

XXXVII OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ k $ wielomian

\[<br /> (x^4-1)(x^3-x^2+x-1)^k + (x+1)x^{4k-1}<br /> \]

dzieli się przez $ x^5+1 $.

Rozwiązanie

Niech $ P_k $ będzie rozważanym wielomianem. Przyjmijmy oznaczenia

\[<br /> (1) \qquad p(x) = x^3-x^2+x-1, \ q(x)=x^4-p(x)<br /> \]

i zauważmy, że

\[<br /> \begin{split}<br /> & (2) \qquad x^4-1 = (x+1)p(x),\\<br /> & (3) \qquad x^5+1 = (x+1)q(x),\\<br /> & (4) \qquad P_k(x) = (x^4-1)p(x)^k + (x + 1)x^{4k-1},\\<br /> \textrm{czyli}\\<br /> & (5) \qquad P_k(x) = (x+1)(p(x)^{k+1}+x^{4k-1}).<br /> \end{split}<br /> \]

Podzielności wielomianu $ P_k $ przez $ x^5+1 $:

Indukcja względem $ k $. Dla $ k = 1 $ mamy

\[<br /> \begin{split}<br /> P_1(x) = (x^4-1)(x^3-x^2+x-1) + (x+1)x^3 =\\<br /> = x^7-x^6+x^5 + x^2-x+1 = (x^2-x+1)(x^5+1).<br /> \end{split}<br /> \]

Z wzorów (3) i (5) widać, że podzielność $ P_k $ przez $ x^5 + 1 $ jest równoważna podzielności wielomianu $ Q_k (x) = p(x)^{k+1}+x^{4k-1} $ przez wielomian $ q $. Wystarczy teraz zauważyć, że

\[<br /> Q_{k+1}(x) - x^4Q_k(x) = (p(x)^{k+2} + x^{4k+3}) - x^4(p(x)^{k+1}+x^{4k-1}) =<br /> \]
\[<br /> = p(x)^{k+1} (p(x)-x^4) = -p(x)^{k+1} q(x);<br /> \]

jeśli więc wielomian $ q $ dzieli $ Q_k $, to dzieli też $ Q_{k+1} $. Kończy to przejście indukcyjne i dowodzi tezy zadania.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz