Komentarz

Niech będzie zbiorem wszystkich łamanych , gdzie są różnymi wierzchołkami ustalonego 1985-kąta foremnego. Ze zbioru losowo wybieramy łamaną. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że jest ona brzegiem czworokąta wypukłego.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez zbiór wszystkich wierzchołków danego wielokąta foremnego. Każdej łamanej ze zbioru możemy przyporządkować zbiór jej wierzchołków, czyli pewien czteropunktowy podzbiór zbioru . Na odwrót, każda czwórka punktów z jest zbiorem wierzchołków dokładnie trzech różnych łamanych ze zbioru (rysunek 6 przedstawia trzy możliwe sposoby połączenia tych punktów odcinkami); z tych trzech łamanych jedna jest brzegiem czworokąta wypukłego. Tak więc wszystkie łamane w zbiorze można pogrupować w trójki tak, że w każdej trójce jedna i tylko jedna jest brzegiem czworokąta wypukłego. Szukane prawdopodobieństwo wynosi zatem .