Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

Komentarz

XXXV OM - III - Zadanie 5

Sześciokąt foremny o boku 1 zawarty jest w sumie mnogościowej sześciu kół mających średnicę 1. Wykazać, że żaden z wierzchołków sześciokąta nie należy do dwóch z tych kół.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że pewien wierzchołek sześciokąta należy do dwóch kół. Gdyby żadne z tych dwóch kół nie zawierało innego wierzchołka sześciokąta, to każdy z pozostałych pięciu wierzchołków należałby do jednego z pozostałych czterech kół. Wynika stąd, że istnieje koło $k_1$ zawierające dwa wierzchołki sześciokąta. Średnicą tego koła jest bok sześciokąta (powiedzmy $\overline{AB}$ ). W dowolnym otoczeniu każdego z punktów $A$ i $B$ znajdują się punkty nie należące do koła $k_1$ ale należące do sześciokąta. Zatem punkt $A$ jest punktem pewnego koła różnego od $k_1$ , podobnie punkt $B$ jest punktem jeszcze innego koła. Wobec tego sześć wierzchołków sześciokąta należy do pięciu kół różnych od $k_1$ . Istnieją więc dwa wierzchołki należące do koła $k_2$ będącego jednym z pięciu kół. Koła $k_1$ i $k_2$ pokrywają dwa boki sześciokąta, przy czym nie więcej niż jeden wierzchołek ma tę własność, że pewne jego otoczenie jest pokryte przez sumę kół $k_1$ i $k_2$ . Pozostałe pięć wierzchołków należy do pozostałych czterech kół. Zatem wśród tych kół jest koło zawierające dwa wierzchołki. Rozumowanie to kontynuujemy stwierdzając, że każde koło zawiera dwa wierzchołki sześciokąta i w związku z tym jego średnicą jest bok sześciokąta. Ale wobec tego środek sześciokąta nie należy do żadnego z tych sześciu kół, bo jego odległość od środka boku wynosi $\frac{\sqrt{3}}{2}$ i jest większa od długości promienia każdego z kół.