Komentarz

Na płaszczyźnie z ustalonym układem współrzędnych dany jest wielokąt wypukły, którego wszystkie wierzchołki mają współrzędne całkowite. Dowieść, że podwojone pole tego wielokąta jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie

Obieramy dowolny wierzchołek wielokąta i prowadzimy z niego wszystkie przekątne. Podzielimy w ten sposób dany wielokąt na trójkąty, których wierzchołki mają współrzędne całkowite. Wystarczy więc udowodnić rozważane twierdzenie dla trójkąta.

Przez wierzchołki trójkąta prowadzimy proste równolegle do osi układu współrzędnych. Proste te przecinają się w punktach o współrzędnych całkowitych, wyznaczają więc prostokąt, którego pole jest liczbą całkowitą i na którego bokach leżą wierzchołki rozważanego trójkąta. Trójkąt nasz powstaje z tego prostokąta przez odcięcie jednego, dwóch albo trzech trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych równoległych do osi układu współrzędnych i wierzchołkach w punktach o współrzędnych całkowitych. Długości przyprostokątnych tych trójkątów są liczbami całkowitymi, więc pole każdego trójkąta (równe połowie iloczynu długości przyprostokątnych) jest liczbą całkowitą albo połową liczby całkowitej. Wobec tego pole rozważanego trójkąta jest różnicą liczby całkowitej (pola prostokąta) i jednej, dwóch albo trzech liczb, z których każda jest całkowita albo jest połową liczby całkowitej. Zatem jest liczbą całkowitą.