Komentarz

XXXIV OM - II - Zadanie 2

Dane są takie trzy liczby nieujemne $ a, b, c $, że suma każdych dwóch jest nie mniejsza od pozostałej. Dowieść, że

\[<br /> \sqrt{a+b-c} + \sqrt{a-b+c} + \sqrt{-a+b+c} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}.<br /> \]

Rozwiązanie

Zastosujemy nierówność

\[<br /> (1) \qquad \sqrt{\frac{x+y}{2}} \geq \frac{1}{2} (\sqrt{x}+\sqrt{y}), \ \textrm{dla} \ x, y > 0,<br /> \]

którą można wyprowadzić z własności funkcji pierwiastkowej, albo udowodnić bezpośrednio jak następuje. Podnosząc obustronnie do kwadratu otrzymujemy nierówność równoważną

\[<br /> \frac{x+y}{2} \geq \frac{1}{4} (x+y+2\sqrt{xy}),<br /> \]

którą następnie przekształcamy do postaci

\[<br /> \begin{split}<br /> \frac{x+y}{4} \geq \frac{\sqrt{xy}}{2},\\<br /> x+y-2\sqrt{xy} \geq 0,\\<br /> (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \geq 0<br /> \end{split}<br /> \]

Cztery powyższe nierówności są oczywiście równoważne, a ostatnia jest spełniona dla wszystkich nieujemnych $ x $, $ y $.

W nierówności (1) podstawiamy $ x= a+b-c $, $ y = a-b+c $ i dostajemy

\[<br /> \sqrt{a} \geq \frac{1}{2}(\sqrt{a+b-c}+\sqrt{a-b+c}).<br /> \]

Analogicznie

\[<br /> \sqrt{b} \geq \frac{1}{2}(\sqrt{a+b-c}+\sqrt{-a+b+c})<br /> \]

i

\[<br /> \sqrt{c} \geq \frac{1}{2}(\sqrt{a-b+c}+\sqrt{-a+b+c}).<br /> \]

Po dodaniu tych nierówności otrzymujemy

\[<br /> \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \geq \sqrt{a+b-c}+\sqrt{a-b+c}+\sqrt{-a+b+c}.<br /> \]

Uwaga. Jeśli liczby $ a $, $ b $, $ c $ są różne, to każdą z powyższych nierówności można zastąpić przez nierówność ostrą.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz