Komentarz

XXXI - I - Zadanie 11

Udowodnić, że $ \tan \frac{\pi}{7} \tan \frac{2\pi}{7} \frac{3\pi}{7} = \sqrt{7} $.

Rozwiązanie

Wyrazimy funkcje trygonometryczne kąta $ 7 \alpha $ w zależności od funkcji trygonometrycznych kąta $ \alpha $. Można to zrobić korzystając ze znanych wzorów trygonometrycznych albo też wykorzystując własności liczb zespolonych. Zastosujemy następujący wzór de Moivre'a

\[<br /> (\cos x + i \sin x)^n = \cos nx + i \sin nx.<br /> \]

Dla $ n = 7 $ oraz $ x_k = \frac{k\pi}{7}\ (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6) $ mamy

\[<br /> (\cos x_k + i \sin x_k)^7 = \cos 7x_k + i \sin 7x_k = \cos k \pi + i \sin k\pi = (-1)^k.<br /> \]

Wobec tego

\[<br /> (1+i \tan x_k)^7 = \frac{(-1)^k}{\cos^7 x_k}.<br /> \]

W ostatniej równości po prawej stronie występuje liczba rzeczywista zatem część urojona lewej strony jest zerem. Ponieważ

\[<br /> \begin{split}<br /> (1+i \tan x_k)^7 = & 1 + \binom{7}{1} i \tan x_k - \binom{7}{2} \tan^2 x_k -<br /> \binom{7}{3} i \tan^3 x_k + \\<br /> & + \binom{7}{4} \tan^4 x_k + \binom{7}{5} i \tan^5 x_k- \binom{7}{6} \tan^6 x_k - i \tan^7 x_k,<br /> \end{split}<br /> \]

więc

\[<br /> \binom{7}{1} \tan x_k - \binom{7}{3} \tan^3 x_k + \binom{7}{5} \tan^5 x_k- \tan^7 x_k=0.<br /> \]

Liczby $ \tan x_k $ są parami różne, żadna nie równa się $ 0 $ i spełniają równanie

\[<br /> 7y - \binom{7}{3} y^3 + \binom{7}{5} y^5 - y^7=0.<br /> \]

Wobec tego $ 7y - \binom{7}{3} y^3 + \binom{7}{5} y^5 - y^7 = -y(y - \tan x_1)(y - \tan x_2) \cdot (y-\tan x_6) $.

Porównując współczynniki przy $ y $ otrzymujemy

\[<br /> 7 = -\tan x_1 \cdot \tan x_2 \ldots \tan x_6.<br /> \]

Ponieważ $ x_2 = \frac{2\pi}{7} = \pi - \frac{5\pi}{7} = \pi x_5 $, więc $ \tan x_2 = - \tan x_5 $, podobnie $ x_4=\frac{4\pi}{7} = \pi - \frac{3\pi}{7} = \pi - x_2 $, więc $ \tan x_4 = - \tan x_3 $ i analogicznie $ \tan x_6= -\tan x_1 $.

Otrzymana wyżej równość $ - \tan x_1 \ldots \tan x_6 = 7 $ może więc być zapisana w postaci

\[<br /> \tan^2 x_1 \tan^2 x_2 \tan^2 x_3 = 7,<br /> \]

skąd wynika

\[<br /> \tan x_1 \tan x_2 \tan x_3 = \sqrt{7},<br /> \]

gdyż $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $ są liczbami mniejszymi od $ \frac{\pi}{2} $, więc ich tangensy są dodatnie.

Uwaga. Analogicznie dla dowolnego nieparzystego $ n $ otrzymujemy

\[<br /> \prod_{k=1}^{n-1} \tan \frac{k \pi}{n} = (-1)^{\frac{n-1}{2}} \cdot n, \ \textrm{skąd} \<br /> \prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \tan \frac{k \pi}{n} = \sqrt{n}.<br /> \]
  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz