Komentarz

XXXI - III - Zadanie 4

Udowodnić, że dla każdego wielomianu $ W $ trzech zmiennych istnieją takie wielomiany $ U $ i $ V $, że tożsamościowo zachodzą równości

\[<br /> \begin{split}<br /> W(x, y,z) = U (x, y, z) + V (x, y, z),<br /> U (x, y, z) = U (y, x, z),<br /> V(x, y,z) = -V(x, z, y).<br /> \end{split}<br /> \]

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że wielomiany $ U $ i $ V $ spełniają warunki zadania. Wobec tego

\[<br /> (*) \qquad\begin{split}<br /> W(x, y, z) &= U(x, y, z) + V(x, y, z) \\<br /> W(y, x, z) &= U(x, y, z) + V(y, x, z) \\<br /> W(x, z, y) &= U(x, z, y) - V(x, y, z) \\<br /> W(y, z, x) &= U(y, z, x) - V(y, x, z) \\<br /> W(z, x, y) &= U(x, z, y) + V(z, x, y) \\<br /> W(z, y, x) &= U(y, z, x) - V(z, x, y).<br /> \end{split}<br /> \]

Z dwóch pierwszych równań wyliczamy

\[<br /> U (x, y,z) = \frac{1}{2} W(x, y,z) + \frac{1}{2} W(y, x, z) - \frac{1}{2} V(x, y,z) - \frac{1}{2} V(y, x, z).<br /> \]

Z dwóch kolejnych równań układu (*) otrzymujemy

\[<br /> V(x,y, z) = - W (x, z,y) + U(x,z,y),<br /> \]
\[<br /> V(y, x, z) = - W(y, z, x) + U (y, z, x),<br /> \]

więc

\[<br /> \begin{split}<br /> U(x,y,z) = \frac{1}{2} W(x,y,z) + \frac{1}{2} W(y,x,z) + \frac{1}{2} W(x,z,y)- \frac{1}{2} U(x,z,y)+\\ + \frac{1}{2} W(y,z,x)-\frac{1}{2} U(y,z,x).<br /> \end{split}<br /> \]

Wreszcie z ostatnich dwóch równań układu (*) wynika

\[<br /> U(x,z,y) = W (z,x,y) - V(z,x,y)<br /> \]
\[<br /> U(y, z, x) = W(z,y, x) + V(z, x,y),<br /> \]

więc

\[<br /> \begin{split}<br /> U(x, y,z)&=\frac{1}{2} W(x, y, z) + \frac{1}{2} W(y, x, z) + \frac{1}{2} W(x, z,y)+ \frac{1}{2} W(y, x, z) + \\<br /> & \quad- \frac{1}{2} W(z,x,y)+ \frac{1}{2} V(z, x ,y) - \frac{1}{2} W (z, y, x) - \frac{1}{2} V (z, x, y)\\<br /> U(x, y, z) &= \frac{1}{2} (W(x, y, z) + W(y, x, z) + W(x, z, y)+ W(y, z, x)+\\<br /> &\quad - W(z,x,y) - W(z,y,x)).<br /> \end{split}<br /> \]

Wobec tego

\[<br /> \begin{split}<br /> V(x,y,z) &= W(x,y,z) - U(x,y,z) = \\<br /> &=\frac{1}{2} (W(x,y,z)-W(y,x,z)-W(x,z,y)+\\<br /> &\quad- W(y, z, x) + W (z, x, y) + W(z,y, x))<br /> \end{split}<br /> \]

Z określenia $ V $ wynika, że wielomiany $ U $ i $ V $ zdefiniowane wyżej spełniają związek

\[<br /> W(x, y,z) = U(x, y, z) + V(x, y, z).<br /> \]

Sprawdzamy bezpośrednio, że

\[<br /> \begin{split}<br /> U(y, x, z) &= \frac{1}{2} (W(y, x, z) + W(x, y, z) + W(y, z, x) + W(x, z, y) +\\<br /> &\quad - W(z,y, x) - W (z, x,y)) = U(x,y, z),\\<br /> V(x, z,y) &= \frac{1}{2} (W(x, z,y) - W(z, x,y) - W(x,y, z) - W(z,y,x)+ W(y, x, z) +\\<br /> &\quad + W(y, z,x)) = \frac{1}{2}(- W(x, y, z) + W(y, x, z) + W(x, z, y) +\\<br /> &\quad + W(y, z, x) - W (z, x,y) - W(z,y, x)) = -V(x,y, z).<br /> \end{split}<br /> \]

Wykazaliśmy więc, że wielomiany

\[<br /> \begin{split}<br /> U(x,y,z)=& \frac{1}{2} (W(x,y, z) + W(y, x, z) + W(x, z,y) + W(y, z,x)+\\<br /> & -W(z,x,y)- W(z,y,x)),\\<br /> V(x, y, z) =& \frac{1}{2} (W(x,y, z) - W(y, x, z) - W(x, z,y) - W(y, z, x) + \\<br /> & + W(z,x,y) + W(z,y,x))<br /> \end{split}<br /> \]

spełniają wymagania zadania, przy czym są to jedyne wielomiany spełniające te wymagania.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Dodaj komentarz