XXVIII - II - Zadanie 1

Niech $ a $ i $ b $ będą różnymi liczbami rzeczywistymi. Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ c_1, c_2, \ldots,c_n $ istnieje ciąg $ n $-ele-mentowy $ (x_i) $, którego każdy wyraz równy jest jednej z liczb $ a $ lub $ b $ taki, że

\[<br /> |x_1c_1 + x_2c_2 + \ldots + x_nc_n| \geq \frac{|b-a|}{2}(|c_1|+|c_2|+\ldots+|c_n|).<br /> \]

Rozwiązanie

Niech

\[<br /> (1) \qquad<br /> \begin{array}{l}<br /> D = a \sum_{c_i < 0} c_i + b \sum_{c_i \geq 0} c_i,\\<br /> E = a \sum_{c_i \geq 0} c_i + b \sum_{c_i < 0} c_i.<br /> \end{array}<br /> \]

Mamy

\[<br /> D - E = (b-a) \left( \sum_{c_i \geq 0} c_i - \sum_{c_i < 0} c_i \right) =<br /> (b-a) \sum_{i=1}^n |c_i|.<br /> \]

Wobec tego

\[<br /> (2) \qquad |b - a| \sum_{i=1}^n |c_i| = |D - E| \leq |D| + |E| \leq 2 \max(|D|, |E|).<br /> \]

Niech na przykład $ |D| \leq |E| $. Jeżeli zachodzi nierówność przeciwna, to rozumowanie przebiega podobnie. Mamy więc $ \max(|D|, |E|) = |E| $ i wobec tego z (2) wynika, że $ |E| \geq \displaystyle \frac{|b-a|}{2} \sum_{i=1}^n |c_i| $. Zatem na mocy (1) wystarczy przyjąć

\[<br /> x_i = \left\{<br /> \begin{array}{cl}<br /> a, \textrm{jeżeli} \ c_i \geq 0, \\<br /> b, \textrm{jeżeli} \ c_i < 0.<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> \]
  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz