XXI OM - III -Zadanie 2

Dane są trzy ciągi nieskończone, których elementami są liczby naturalne:

\[<br /> \begin{split}<br /> a_1, a_2, \ldots, \\<br /> b_1, b_2, \ldots, \\<br /> c_1, c_2, \ldots,<br /> \end{split}<br /> \]

przy czym jeżeli $ i \neq j $, to $ a_i \neq a_j $, $ b_i \neq b_j $, $ c_i \neq c_j $.
Udowodnić, że istnieje para wskaźników $ k, l $ taka, że $ k < l $ i $ a_k < a_l $, $ b_k < b_l $, $ c_k < c_l $.

Rozwiązanie

Ponieważ wyrazy ciągu $ a_1, a_2, \ldots $ są różnymi liczbami naturalnymi, a zbiór liczb naturalnych mniejszych od $ a_1 $ jest skończony, więc wszystkie dostatecznie dalekie wyrazy tego ciągu są większe od $ a_1 $, tzn.

\[<br /> (1) \qquad a_n > a_1 \textrm{ dla } n > n_1.<br /> \]

Podobnie stwierdzamy, że

\[<br /> (2) \qquad b_n > b_1 \textrm{ dla } n > n_2 \textrm{ i}<br /> \]
\[<br /> (3) \qquad c_n > c_1 \textrm{ dla } n > n_3.<br /> \]

Jeśli więc $ n $ jest liczbą naturalną większą od każdej z liczb $ n_1, n_2, n_3 $, to nierówności (1), (2), (3) będą prawdziwe dla tej liczby naturalnej.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź