XX OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby naturalne $ a, b, p, q, r, s $, spełniają warunki

\[<br /> (1) \; qr-ps = 1,\quad (2) \; \frac{p}{q} < \frac{a}{b} < \frac{r}{s}<br /> \]

to

\[<br /> b \geq q+s.<br /> \]

Rozwiązanie

Według (2)

\[<br /> \frac{a}{b} - \frac{p}{q} = \frac{aq-bp}{bq} > 0,<br /> \]
\[<br /> \frac{r}{s} - \frac{a}{b} = \frac{br-as}{bs} > 0.<br /> \]

Zatem $ aq-bp > 0 $, $ br-as > 0 $, a ponieważ lewe strony tych nierówności są liczbami całkowitymi, więc

\[<br /> aq-bp \geq 1, \ br-as \geq 1.<br /> \]

Mnożymy obie strony pierwszej nierówności przez $ s $, a drugiej przez $ q $ i dodajemy je stronami:

\[<br /> b (rq-ps) \geq q+s.<br /> \]

Stąd po uwzględnieniu warunku (1) otrzymujemy

\[<br /> b \geq q+s.<br /> \]
  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź