XVIII OM - I - Zadanie 3

W czworokącie wypukłym $ ABCD $ połączono odcinkami środek M boku AB z wierzchołkami $ C $ i $ D $, a środek $ N $ boku $ CD $ z wierzchołkami $ A $ i $ B $. Odcinki $ AN $ i $ DM $ przecinają się w punkcie $ P $, a odcinki $ BN $ i $ CM $ w punkcie $ Q $. Dowieść, że pole czworokąta $ MQNP $ równa się sumie pól trójkątów $ APD $ i $ CQB $.

Rozwiązanie

Pole wielokąta $ ABC\ldots $ oznaczać będziemy symbolem $ (ABC\ldots) $. Stwierdzamy, że (rys. 1)

\[<br /> AM = MB \Longrightarrow (AMC) = (MBC),<br /> \]
\[<br /> CN = ND \Longrightarrow (CNA) = (NDA).<br /> \]

Stąd

\[<br /> (AMC) + (CNA) = (MBC)+(NDA),<br /> \]

zatem

\[<br /> (1) \qquad (AMCN) = (MBC) + (NDA).<br /> \]

Lecz

\[<br /> (2) \qquad (ABCD) = (AMCN) + (MBC) + (NDA),<br /> \]

a z (1) i (2) wynika, że

\[<br /> (3) \qquad (AMCN) = \frac{1}{2} (ABCD).<br /> \]

Analogicznie

\[<br /> (4) \qquad (MBND) = \frac{1}{2} (ABCD).<br /> \]

Otóż

\[<br /> (5) \qquad (APD) + (CQB) = (ABCD) - (AMCN) - (MBND) + (MQNP).<br /> \]

Z (3), (4) i (5) otrzymujemy

\[<br /> (APD) + (CQB) = (MQNP),\ \textrm{c.n.d.}<br /> \]
  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź