XVII OM - III - Zadanie 5

Dany jest sześciokąt wypukły $ ABCDEF $, w którym każda z przekątnych $ AD, BE, CF $ dzieli sześciokąt na dwie części o równych polach. Dowieść, że te trzy przekątne przechodzą przez jeden punkt.

Rozwiązanie

\spos{1} Pole wielokąta $ ABC\ldots $ oznaczać będziemy symbolem $ (ABC\ldots) $. Według założenia (rys. 15)

\[<br /> (1) \qquad (ABCD)= \frac{1}{2} (ABCDEF) = (BCDE).<br /> \]

Otóż

\[<br /> (2) \qquad (ABCD) = (ABD)+(DBC),\ (BCDE)=(EBD)+(DBC).<br /> \]

Z (1) i (2) otrzymujemy

\[<br /> (ABD) = (EBD),<br /> \]

skąd wynika, że $ AE \parallel BD $, gdyż wierzchołki $ A $ i $ E $ trójkątów $ ABD $ i $ EDB $ o wspólnym boku $ BD $ leżą po tej samej stronie prostej $ BD $.

Analogicznie $ AC \parallel DF $ i $ CE \parallel BF $. Trójkąty $ ACE $ i $ DFB $ mają boki odpowiednio równoległe, więc według twierdzenia o trójkątach jednokładnych proste $ AD $, $ BE $, $ CF $, zawierające pary odpowiadająych sobie wierzchołków obu trójkątów, przechodzą przez jeden punkt.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź