XVIII ZMPB - Zadanie 14

W czworokącie wypukłym $ ABCD $ zachodzi równość $ \measuredangle ADC=90^\circ $. Punkty $ E $ i $ F $ są rzutami prostokątnymi punktu $ B $ odpowiednio na proste $ AD $ i $ AC $. Załóżmy, że punkt $ F $ leży między $ A $ i $ C $, punkt $ A $ leży między $ D $ i $ E $, zaś prosta $ EF $ przechodzi przez środek odcinka $ BD $. Dowieść, że na czworokącie $ ABCD $ można opisać okrąg.

Rozwiązanie

Trójkąt $ DEB $ jest prostokątny (gdyż $ \measuredangle DEB=90^\circ $), zatem jeżeli prosta $ EF $, zawierająca wierzchołek kąta prostego tego trójkąta, przechodzi przez środek odcinka $ BD $ - przeciwprostokątnej w tym trójkącie, to ma miejsce równość kątów $ \measuredangle FEB=\measuredangle DBE $ (rys. 6). Proste $ BE $ i $ CD $ są równoległe, więc $ \measuredangle DBE=\measuredangle CDB $. Wobec tego otrzymujemy $ \measuredangle FEB=\measuredangle CDB $.

zmpb18_r_img_6.jpg

Z drugiej strony, kąty $ \measuredangle AEB $ i $ \measuredangle AFB $ są kątami prostymi, zatem punkty $ A $, $ E $, $ B $, $ F $ leżą w tej kolejności na jednym okręgu i zachodzą równości

\[<br /> \measuredangle FEB=\measuredangle FAB=\measuredangle CAB.<br /> \]

Łącząc to z wcześniej uzyskaną zależnością $ \measuredangle FEB=\measuredangle CDB $ widzimy, że $ \measuredangle CDB=\measuredangle CAB $, a to oznacza, że na czworokącie $ ABCD $ można opisać okrąg.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź