XVI OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że układ warunków

\[<br /> (1) \qquad \sqrt{a + b} = \sqrt{a + c} + \sqrt{b + c},<br /> \]
\[<br /> (2) \qquaad c \neq 0,<br /> \]

gdzie $ a, b, c $ oznaczają liczby rzeczywiste, jest równoważny układowi warunków

\[<br /> (I) \qquad a > 0, \quad b > 0,<br /> \]
\[<br /> (II) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0.<br /> \]

Rozwiązanie

1. Udowodnimy, że z układu warunków (1) i (2) wynika układ warunków (I) i (II). Z równości (1) wynika, że istnieją wartości pierwiastków $ \sqrt{a+c} $ i $ \sqrt{b+c} $, zatem

\[<br /> (3) \qquad a + c \geq 0, \ b + c \geq 0.<br /> \]

Podnosimy obie strony równości (1) do kwadratu:

\[<br /> a + b = a + c + b + c + 2\sqrt{(a + c)(b + c)},<br /> \]

stąd

\[<br /> (4) \qquad \sqrt{(a + c)(b + c)} = -c.<br /> \]

Z (2) i (4) wynika, że

\[<br /> (5) \qquad c < 0.<br /> \]

Z (3) i (5) wynikają nierówności

\[<br /> (I) \qquad a > 0, \quad b > 0.<br /> \]

Podnosząc do kwadratu obie strony równości (4), otrzymujemy równość

\[<br /> (a + c) (b + c) = c^2,<br /> \]

a stąd po uproszczeniu równość

\[<br /> (7) \qquad bc + ca + ab = 0.<br /> \]

Dzieląc obie strony równości (7) przez liczbę $ abc $, która na mocy (5) i (I) jest różna od zera, otrzymujemy

\[<br /> (II) \qquad \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0.<br /> \]

2. Udowodnimy, że z układu warunków (I) i (II) wynika układ warunków (1) i (2). Z (I) wynika, że $ \frac{1}{a}>0 $ i $ \frac{1}{b}>0 $, zatem wobec (II)

\[<br /> (III) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{c}<0, \quad \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < 0,<br /> \]
\[<br /> (IV) \qquad \frac{1}{c} < 0.<br /> \]

Z (IV) wynika, że

\[<br /> (V) \qquad c < 0,<br /> \]

warunek (2) jest przeto spełniony.

Z (I) i (V) wynika, że $ ac < 0 $ i $ bc < 0 $; mnożąc strony nierówności (III) odpowiednio przez $ ac $ i $ bc $ otrzymujemy

\[<br /> (VI) \qquad a + c>0, \quad b + c> 0.<br /> \]

Po pomnożeniu obu stron równości (II) przez $ abc $ otrzymujemy równość

\[<br /> bc + ca + ab = 0,<br /> \]

zatem

\[<br /> bc + ca + ab + c^2 = c^2,<br /> \]

czyli

\[<br /> (a + c)(b + c) = c^2<br /> \]

Uwzględniając (V), otrzymujemy stąd równość

\[<br /> \sqrt{(a + c) (b + c)} = -c,<br /> \]

z której wynika, że

\[<br /> a + c + b + c + 2\sqrt{(a + c)(b + c)} = a + b.<br /> \]

Powołując się na nierówności (VI), możemy tę ostatnią równość napisać w postaci

\[<br /> (\sqrt{a+c} + \sqrt{b+c})^2 = a + b,<br /> \]

skąd wynika równość

\[<br /> (1) \qquad \sqrt{a+c} + \sqrt{b+c} = \sqrt{a+b}.<br /> \]
  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź