XVIII ZMPB - Zadanie 15

Okrąg wpisany w trójkąt $ ABC $ jest styczny do boku $ AC $ w punkcie $ D $. Inny okrąg przechodzi przez punkt $ D $ i jest styczny do półprostych $ BC $ i $ BA $ - do drugiej z nich w punkcie $ A $. Obliczyć stosunek $ AD/DC $.

Rozwiązanie

Niech $ P $ i $ R $ będą odpowiednio punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt $ ABC $ z bokami $ AB $ i $ BC $ (rys. 7) oaz niech $ S $ będzie punktem styczności drugiego z danych w treści zadania okręgów do prostęj $ BC $.

zmpb18_r_img_7.jpg

Oznaczmy

\[<br /> x=CD,\quad y=AD.<br /> \]

Korzystając z równości odcinków stycznych dostajemy

\[<br /> CS=RS-CR=PA-CD=DA-CD=y-x,<br /> \]

co prowadzi do równości

\[<br /> (y-x)^2=CS^2=CD\cdot CA=x(x+y).<br /> \]

Z powyższej równości otrzymujemy $ y^2-2yx+x^2=x^2+xy $, czyli $ y^2=3xy $. Liczba $ y=AD $ jest różna od zera, więc $ y=3x $ i ostatecznie $ AD/DC=y/x=3 $.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź