XV OM - I - Zadanie 4

Na płaszczyźnie leży 5 punktów, z których żadne 3 nie są współliniowe. Dowieść, że wśród nich są cztery punkty będące wierzchołkami czworokąta wypukłego.

Rozwiązanie

Niech , , , , oznaczają dane punkty. Ponieważ żadne trzy z nich nie są współliniowe, więc punkty , , są wierzchołkami trójkąta, a każdy z punktów i leży bądź wewnątrz, bądź na zewnątrz tego trójkąta. Zachodzi zatem jeden z przypadków:

a) Punkty i leżą wewnątrz trójkąta . Prosta nie przechodzi przez żaden z wierzchołków , , , przecina zatem dwa boki trójkąta, np. w punkcie i w punkcie (rys. 3).

Możemy tak ustalić oznaczenia, że punkt leży między punktami i . Wówczas czworokąt jest wypukły, gdyż stwierdzamy łatwo, że dla każdego z boków , , , pozostałe dwa wierzchołki czworokąta leżą po jednej stronie tego boku.

b) Jeden z punktów i , np. punkt leży wewnątrz trójkąta , drugi, tj. , na zewnątrz tego trójkąta. Półproste , , dzielą płaszczyznę na wypukłe obszary kątowe , , ; punkt leży wewnątrz jednego z nich, np. wewnątrz kąta . Czworokąt jest wypukły, gdyż jest częścią wspólną dwóch obszarów kątowych wypukłych i .

c) Punkty i leżą na zewnątrz trójkąta . Jeżeli punkt leży wewnątrz jednego z kątów wypukłych , , , np. wewnątrz kąta (rys. 5), to czworokąt jest wypukły, jako część wspólna wypukłych obszarów kątowych i .

Jeśli zaś punkt leży w jednym z kątów wierzchołkowych do kątów trójkąta, np. wewnątrz kąta wierzchołkowego do kąta , to punkt leży wewnątrz trójkąta (rys. 6), wobec czego mamy przypadek analogiczny do przypadku a) lub do przypadku b), dla których dowód już przeprowadziliśmy poprzednio.

Uwaga. Figurę nazywamy wypukłą, jeżeli każdy odcinek, którego końce należą do figury , zawiera się cały w figurze . Z tego określenia wynika bezpośrednio, że punkty wspólne dwóch lub więcej figur wypukłych tworzą również figurę wypukłą. Łatwe uzasadnienie tego twierdzenia pozostawiamy Czytelnikowi.

Jeżeli jest bokiem wielokąta wypukłego , to wszystkie punkty tego wielokąta, z wyjątkiem punktów boku , leżą po jednej stronie prostej . Istotnie, gdyby punkty i wielokąta leżały po przeciwległych stronach prostej , to łącząc punkty i odcinkami z punktami i , otrzymalibyśmy czworokąt , którego wszystkie boki należałyby do ; zatem cały czworokąt zawierałby się w , wobec czego jego przekątna nie mogłaby być bokiem wielokąta .

Odwrotnie, jeżeli cały wielokąt leży po jednej stronie każdej prostej zawierającej jeden jego bok, z wyjątkiem punktów tego boku, to wielokąt jest wypukły. Gdyby bowiem na odcinku łączącym punkty i wielokąta znajdował się jakiś punkt nie należący do wielokąta , to odcinek miałby jakiś punkt wspólny z obwodem wielokąta, dajmy na to z bokiem , a w takim razie punkty i nie leżałyby po tej samej stronie prostej .